к нему единицу и получить еще большее. Мы можем представить себе число, протяженность которого равна расстоянию до дальней звезды, но и к нему можно прибавить единицу и получить еще большее число.
Последовательность целых чисел, записанных в порядке 1, 2, 3…, представляет собой бесконечность, то есть нечто, не имеющее конца. То есть, когда мы пишем 1, 2, 3…, это означает «1, 2, 3 и далее бесконечно».
Точно таким же образом мы можем записать ряд целых отрицательных чисел: -1, -2, -3…, что будет означать «-1, -2, -3 и далее бесконечно» или ряд положительных или отрицательных мнимых чисел: +1i, +2i, +3i… или -1i, -2i, -3i…
А теперь давайте запишем другой ряд чисел, ряд четных чисел: 2, 4, 6, 8 и так далее. Сколько существует четных чисел?
С точки зрения обычного здравого смысла можно было бы сказать, что четных чисел вдвое меньше, чем всех целых чисел, вместе взятых, поскольку целые числа делятся на четные и нечетные. Скажем, из первых десяти чисел пять — четные, а пять — нечетные.
Но это не так. Ведь количество целых чисел бесконечно, и мы не можем говорить о «половине бесконечности».
Рассмотрим ряд четных чисел с другой точки зрения. Какое бы сколь угодно большое число мы ни выберем, к нему всегда можно прибавить 2 и получить число еще большее. Даже если мы представим себе гигантское четное число, цифры которого протянулись до самой дальней звезды, мы и к нему сможем прибавить 2 и получить еще большее число.
То же самое можно сказать о ряде нечетных чисел 1, 3, 5, 7… и о ряде чисел, кратных 5, то есть 5, 10, 15, 20, 25…, и о ряде чисел, кратных миллиону, то есть 1 000 000, 2 000 000, 3 000 000… Все эти ряды бесконечны, и, представляя себе такие ряды, вы составляете представление о понятии «бесконечность».
Тем не менее мое объяснение может вас не удовлетворить. Ведь кажется настолько очевидным, что четных чисел должно быть вдвое меньше, чем целых чисел вообще, пусть даже их число будет бесконечно, а чисел, кратных миллиону, должно быть в миллион раз меньше, чем всех целых чисел.
Но далеко не всегда то, что кажется очевидным, соответствует истине. Казалось бы, очевидно, что, если человек стоит лицом к северу, его спина обращена к югу. Кто же станет возражать против этого? Но если он стоит на Южном полюсе, то это не соответствует истине. И его лицо, и его спина будут обращены на север.
Давайте все-таки разберемся с числами. Давайте выясним, какое соотношение существует между четными числами и всем количеством целых чисел. Как же это сделать, ведь целых чисел бесконечное количество? Тем не менее метод для такого подсчета существует.
Как мы обычно считаем объекты? Мы приписываем каждому объекту определенное число из возрастающей последовательности целых чисел. Первый объект — объект номер один, второй — номер два и так далее. Если последний объект оказывается объектом номер десять, значит, у нас всего десять объектов.
А можно ли считать, не пользуясь числами? Это почти то же самое, что спросить: «А можно ли считать, не считая?» Как ни странно, это возможно.
Представим себе, что вокруг нас стоит толпа кричащих детишек, которым мы должны раздать леденцы. Мы не знаем ни сколько детей требует леденцов, ни сколько леденцов у нас в коробке. Но делать нечего, и мы начинаем раздавать леденцы — по одному каждому малышу. Если к тому моменту, когда коробка опустеет, каждый малыш будет сосать вкусный леденец, значит, количество леденцов равнялось количеству детей. Если к тому моменту, когда мы одарим всех малышей леденцами, у нас в коробке еще останутся леденцы, значит, количество леденцов больше количества детей. Если же, напротив, у нас не хватит леденцов на всех, это будет означать, что детей больше, чем леденцов.
Такой метод подсчета, заключающийся в сравнении последовательных рядов (один леденец против одного ребенка, или одно четное число против одного целого числа), поможет выяснить, равны ли два ряда чисел, и если они не равны, то какой ряд больше.
Напишем ряд целых чисел, а под ним ряд четных чисел:
Мы видим, что для каждого целого числа нашлось четное число, причем его можно получить, умножив соответствующее целое число на 2.
Мы видим, что, как бы много чисел мы ни написали, каждому целому числу соответствует определенное четное число и, наоборот, каждому четному числу соответствует определенное целое число (то есть каждому ребенку достается по одному леденцу).