"Трое в лодке, не считая собаки" Джерома К. Джерома (Three men in a boat (to say nothing of the dog)) представили читателю в 1899 г. тройку милых повес, которых сопровождает еще один одушевленный персонаж, снабженный характером и биографией, чья зоологическая принадлежность вынесена в название.Четвертая фигура полузаконна, – резонно заключит глубокомысленный аналитик, сославшись при этом, возможно, и на странность английской языковой привычки деления суток, где четвертой части суток, ночи, не отведено ни одного самостоятельного часа, отчего ее как бы можно и не считать. Спустя более полувека Британия решила укрепить свой вклад в мировую сокровищницу кватернионов: легендарная ливерпульская четверка, Beatles – один из культов последних десятилетий. (Дотошный читатель самостоятельно поставит на выделенное четвертое место Дж.Леннона.)
С середины ХIХ и особенно с начала ХХ в. наблюдается настоящий взрыв интереса к дискретным структурам. Историки науки свидетельствуют о возрождении древней ("демокритовской") атомистики в трудах Максвелла и Больцмана 1850 – 70-х гг.; в конце ХIХ – начале ХХ вв. молекулярно-кинетическая теория обретает полноправное гражданство в науке. В 1856 – 63 гг. австрийский монах Грегор Мендель формулирует алгебраические законы биологической наследственности, в 1900 г. М.Г. де Фриз, К.Э.Корренс, Э.Чермак-Зейзенегг их переоткрывают, а школа Т.Моргана выясняет их цитологические механизмы. Клеточные и хромосомные теории занимают центральное место в новой биологии. В 1854 г. выходит работа английского математика и логика Джорджа Буля "Исследование законов мышления", в которой последнее предстает в дискретной, алгебраической форме; шотландец Огастес Морган независимо приходит к аналогичным идеям. В периодическом законе Д.И.Менделеева (1869) порядковый номер химического элемента определяет набор его свойств. Излишне, по-видимому, напоминать об открытии квантов света Планком, Эйнштейном, поскольку о квантовой механике, о теории элементарных частиц (и значит, косвенно о номерах энергетических уровней и подуровней) речь уже шла. Один из основателей топологии, А.Пуанкаре, активно обсуждает вопрос о простейших фундаментальных структурах в геометрии, в физике, в частности о размерности физического пространства, о его роде.
Отзываясь на новейшие веяния, П.А.Флоренский пишет статью "Пифагоровы числа", начинающуюся словами: "С началом текущего века научное миропонимание претерпело сдвиг, равного которому не найти, кажется, на всем протяжении человеческой мысли; даже скачок от Средневековья к Возрождению теряет в своей значительности, будучи сопоставлен с мыслительной стремниной нашего времени. Слово революция кажется слабым, чтобы охарактеризовать это событие культуры: мы не знаем, еще не знаем как назвать его. Увлекаемые вырвавшимся вихрем, мы не имеем и способов достаточно оценить скорость происходящего процесса, как не выработали еще в себе категорий сознания, которыми можно было бы выразить общий смысл совершающегося" [346, c. 632]. Далее Флоренский называет два главных нерва новых веяний – это внимание к форме (форме целого) и к прерывно-цифровым ("пифагорейским") аспектам строения.(25)
С тех пор отмеченные тенденции только укрепились. Начиная, как минимум, с К.Шеннона, даже информация обретает свою количественную, дискретную меру, современная техника отдает все большее предпочтение цифровым технологиям.
Означенный процесс алгебраизации и/или арифметизации не обошел стороной и науки о языке (лингвистика Ф. де Соссюра, фонология Н.Трубецкого, семиотика), искусстве ("формальная школа" в литературоведении, структурализм), первобытном мифе и обществе (Леви-Брюль, Леви-Строс и др.). Об этом уже упоминалось в разделе 1.1, но сейчас нас интересует более специальный аспект. Однако прежде – еще одно отступление.
Рассматриваемые системы класса S – будь то из предшествующего раздела или из настоящего – хорошо известны науке и носят в топологии наименование симплексов (от лат. simplex – простой). Прообразом двумерных симплексов служит треугольник, трехмерных – тетраэдр (треугольная пирамида):
Для изображения тройственных систем (т.е. двумерных симплексов) ранее уже использовались треугольники, в частности треугольник Фреге (рис. 1-6); та же фигура является одним из иконографических символов Троицы. Треугольник способен служить наглядной схемой и для прочих триад.
В качестве элементов (в принятой терминологии) могут быть выбраны вершины треугольника, в качестве отношений между элементами – его стороны. Каждая из сторон соединяет пару вершин, будучи, таким образом, бинарным отношением ( n = 2 ). Каждая из вершин треугольника соединена соответствующими сторонами с каждой, т.е. система связна. Количества вершин и сторон совпадают: М = k, ср. уравнение (1) из раздела 1.2, – каждое из них равно трем.
С ничуть не меньшим основанием можно назначить элементами стороны треугольника; в таком случае роль отношений сыграли бы пересечения сторон, т.е. вершины. Каждое из пересечений, очевидно, бинарно, по-прежнему n = 2. Система в этом плане логически симметрична, инверсивна.
Подобное разложение треугольника не противоречит холистичности его восприятия. Один из исследователей науки напоминает о платоновской традиции целостного, интуитивного постижения геометрических истин: "Хотя треугольник и сложен из отрезков прямых, его свойства не дедуцируются из свойств прямой как таковой. Интуиция треугольника так же неделима, как неделимы слоги в известном рассуждении Платона из "Теэтета"" [152, c. 29], – и далее, ссылаясь на Платона, Аристотеля, Прокла, отмечает наличие и эстетического аспекта.