Ни одна из отмеченных выше математических моделей роста не описывает эффект «провала». Цель нашей работы заключается в построении модели роста на основе предположения, что ИСГ увеличивается в начале онтогенеза по экспоненциальному закону, а сам организм («оболочка» генома) в морфогенезе — по логистическому закону. Модель будет строиться для плотности ИСГ, в надежде найти математическое обоснование эффекта «провала».
3. Рост генома и рост клетки
3.1. Рост плотности ИСГ
По нашему предположению, рост ИСГ происходит по закону Мальтуса:
İ = r1·I (1)
здесь: I — ИСГ; r1 — относительная скорость роста ИСГ; точка над İ — производная по времени t.
Решение уравнения (1) хорошо известно:
I(t) = I(0)·exp(r1t) (2)
Введем понятие «плотности ИСГ» ρ(t):
ρ(t) = I/V (3)
где V (t) — объем клетки (особи) в виде шара радиуса R(t): V = 4πR3/3 .
После несложных преобразований, получаем уравнение для роста ρ(t) :
dρ/dt = ρ (r1 — 3Ṙ/R) (4)
где учтена роль «оболочки» (в виде радиуса клетки).
3.2. Рост радиуса клетки
Приведем некоторые формулы из модели Ферхюльста, которыми воспользуемся при построении нашей модели (см. ниже). Запишем уравнение Ферхюльста в виде:
Ṙ/R = r2(1- R/K) (5)
здесь: К — так называемая, «емкость» живой особи (К = lim R, при t→∞), r2 — относительная скорость роста R.
Решение уравнения Ферхюльста хорошо известно, мы его представим в виде:
R/K = [R(0)·exp(r2t)]/[K — R(0) + R(0)·exp (r2t)] (6)
3.3. Новая модель роста
Подставим (5) и (6) в (4):
dρ/dt = ρ(t)·f(t) (7)
здесь:
f(t) = (r1 — 3r2)t + 3r2 ·(R/K) (8)
(R/K) — дается формулой (6).
Уравнение (7) решается точно:
ρ(t) = ρ(0)·exp[ʃ f(t)dt] (9)
Интеграл в показателе экспоненты легко берется методом разделения переменных, и окончательная формула для ρ(t) выглядит так:
ρ(t)/ρ(0) = [exp(r1 — 3r2)· t]·[K /R(0) + exp(r2t)— 1]³ (10)
На графике данной функции, который мы построили с помощью компьютерной программы Excel, четко виден эффект «провала» (см. рис. 1):
Рис. 1. «Провал» в росте плотности ИСГ (см. формула (10))
4. Обсуждение полученных результатов
Главная цель нашей модели достигнута: её решение четко демонстрирует эффект «провала» (см. рис. 1). При постоянстве объема тела (за короткий период «провала»), динамика «провала» плотности ИСГ коррелирует с аналогичной динамикой «провала» роста массы тела [3]. Этого следовало ожидать, так как можно предположить, что плотность ИСГ (на ранних этапах роста) непосредственно связана с биомассой. Но сама суть эффекта «провала» (и эффект «развала» функции распределения) пока что не поддается «объяснению». Даже если следовать гипотезе Жакоба-Моно и считать, что геном в данный момент заблокирован («выключен» по Чернавскому), вопрос, куда девается часть информации генома, остается открытым. Тем более трудно объяснить, почему при дальнейшем «насыщении» биомассы (и ее объема), плотность ИСГ продолжает увеличиваться. Пока мы плохо понимаем что такое «геном» и что такое «информация», но мы уверены, что оба эти «объекта» со временем найдут свое объяснение (материальное или мнимое).