Наибольшего развития дискретная математика достигла в связи с запросами практики, приведшими к появлению новых наук: кибернетики, теории кодирования, теории алгоритмов, теории автоматов и др. — Н. Винер (1894–1964), К. Шеннон (1916–1989), А. Черч (1903–1992), А. Тьюринг (1912–1954). Наконец, появился запрос и на создание теории информации.
Само деление математики на непрерывную и дискретную достаточно условно, так как в настоящее время происходит интенсивный обмен идей и методов между ними. Правильней было бы говорить о становлении в XX веке новой современной математики, существенно отличающейся от классической математики XVII–XIX вв., хотя, к сожалению, еще большинство школ и вузов придерживаются методики преподавания математики по канонам, не изменившимся со времен Архимеда.
В XX веке появились новые направления в науке, требующие своих специфических математических теорий, такие, как информатика, программирование, вычислительные методы с применением ЭВМ. От физики поступил заказ на развитие и обоснование суперструнных теорий, где пришлось отказаться от основного понятия классической физики и математики — понятия математической точки. Можно сказать, что на рубеже XXI века математика, уже вместе с физикой, переживает очередной острейший кризис, совпадающий с кризисом мировоззрения и самого человечества.
Первичной основой современной математики служит теория множеств. Понятие множества, строго говоря, не определяется. Приближенно множеством можно считать любое собрание объектов, мыслимое как единое целое.
Категории — это совокупность однотипных математических объектов и морфизмов между этими объектами. Теория категорий играет в математике роль параллельную и дополнительную к роли теории множеств.
Топология — раздел математики, имеющий своим предназначением выяснение и исследование идеи непрерывности. В настоящее время понятие непрерывного отображения предполагает только, что точки и множества рассматриваемой фигуры могут находиться в некотором интуитивно ясном отношении близости, отличном от отношения принадлежности. Такие фигуры называются топологическими пространствами.
Алгебраические системы — это множество с определенными на нем операциями и отношениями. Алгебраическая система называется алгеброй (общей, универсальной, абстрактной), если множество отношений пусто, и — моделью, если пусто множество операций.
Математическая логика — раздел математики посвященный изучению доказательств оснований математики. На основе математической логики были построены различные системы аксиоматической теории множеств. Наиболее известная из них — система Цермело-Френкеля. Прикладное значение математической логики — конструкция ЭВМ.
Наиболее часто мы сталкиваемся с понятиями операции, отношения и отображения.
Понятие операции интуитивно ясно на примере хорошо известных операций сложения и умножения. Это — бинарные операции. Примером унарной операции является отрицание.
Отношения устанавливают связь между множествами.
Отображения — это закон, по которому каждому элементу некоторого заданного множества сопоставляется однозначно определенный элемент другого заданного множества. Фундаментальными понятиями математики являются также понятия ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.
Ассоциативность — это сочетательный закон для операции.
Коммутативность — это переместительный закон для операции.
Дистрибутивность — это распределительный закон для двух операций.
Навести порядок в этом необозримом море различных алгебр помогает свойство гомоморфизма, которым обладают алгебры одного и того же типа. Гомоморфизм — это одно из наиболее важных понятий в математике. Изоморфизмом называется взаимно-однозначный гомоморфизм.
К сожалению, огромное количество новых правил в современной математике отпугивает от нее множество людей, формируя общую неприязнь к математике, что в гуманитарной сфере даже возводится в ранг достоинства. Это происходит видимо потому, что человек изначально воспринимает только ту информацию, которая доступна его пониманию. Именно особое понимание природы на уровне интуиции определяет принадлежность человека к физике, хотя опыт показывает, что зачастую с трудом достигнутое понимание рано или поздно оказывается ложным. В математике ситуация несколько другая, здесь все основные понятия — это правила Игры, к которым надо привыкнуть, а не понять. Более того, математики считают, что все введенные ими понятия — реальны.