В различных случаях будут возникать трудности: например, в многозначной логике с более чем одним выделенным истинностным значением или когда логическая константа, например модальный оператор, порождает контекст, в котором квантифицированные переменные следует рассматривать как имеющие область значений, отличную от области значений, которую они имеют в других контекстах. Но имеется, конечно, обширная область неклассических логик, для которых можно было бы построить теорию истины, которая давала бы тривиальные T-предложения. Однако в любом случае, когда это можно было бы сделать, положение прямо противоположно тому, что утверждается в теории истины Дэвидсона. Тривиальная аксиома для любого выражения, будь то логическая константа или же выражение любого иного рода, не показывает сама по себе того, в чем состоит понимание выражения, а полностью возлагает задачу объяснения этого на теорию смысла, которая определяет, что должно быть взято в качестве средства конституирования понимания суждения, выраженного этой аксиомой. Аксиома вида ”b→ выполняет "S или T" если и только если b→ выполняет S или b→ выполняет T” не более объясняет значение соответствующей логической константы, чем «”Лондон” обозначает Лондон» объясняет значение слова ”Лондон”; в любом случае, если вообще должно существовать какое-либо объяснение, то оно должно будет обнаружиться в рассмотрении того, в чем заключается знание этой аксиомы.
В отношении логической константы значимо не то, возможно ли построить теорию истины так, чтобы можно было принять управляющую этой константой тривиальную аксиому, а, напротив, то, возможно ли сформулировать для нее не-тривиальную аксиому. Если возможна только тривиальная форма аксиомы, то следующий важный вопрос состоит в том, может ли теория смысла обеспечить не образующее порочного круга объяснение того, что значит, что говорящий понимает значение аксиомы, т.е. обладает неявным знанием тривиальной аксиомы, управляющей константой. И хотя теперь можно принять тривиальные аксиомы для интуиционистских констант, стандартное объяснение этих констант дает аксиомы иного рода, которые формулируются не в терминах истинности, а в терминах доказуемости. Значение логического оператора состоит в выявлении того, что считать доказательством математического утверждения^ котором он является главным оператором и когда уже известно, что считается доказательством любого из составных предложений (любого из примеров, в которых оператор является квантором). Если объясняемый оператор сам используется в объяснении, то порочный круг безвреден, поскольку имеется фундаментальное допущение, что мы можем эффективно распознавать, относительно любого математического построения, является оно или нет доказательством данного утверждения; таким образом, когда объясняется, что построение является доказательством ”А или В”, если и только если оно является доказательством А или доказательством В, ”или” справа от двусторонней импликации стоит между двумя разрешимыми утверждениями и, следовательно, непроблематично; мы объясняем общее употребление ”или” в терминах этого специального употребления. Иначе говоря, такое объяснение дизъюнкции можно рассматривать как представление неявного знания, которым обладает говорящий, знания, которое полностью проявляется в практике использования говорящим математических утверждений: он проявляет свое понимание оператора ”или”, признавая построение в качестве доказательства дизъюнктивного утверждения тогда, и только тогда, когда оно является доказательством того или иного дизъюнкта. Напротив, объяснение в терминах условий истинности неотвратимо впадает в порочный круг, если утверждения, к которым применяется оператор дизъюнкции, неразрешимы, т.е. если условие истинности такого утверждения не является эффективно распознаваемым; ибо тогда у нас нет способа объяснить, что значит приписать кому-либо знание о том, что ”А или В” истинно, если и только если или А истинно, или В истинно. Также обстоит дело с кванторами, когда они понимаются в классическом смысле, а область квантификации бесконечна. Условия истинности квантифицированных утверждений формулируются с использованием квантификации по той же самой области; и поскольку мы не имеем эффективных средств распознавания в каждом случае того, выполняются эти утверждения или нет, мы не можем найти в описании нашей языковой практики средств избежать порочного круга.