Как ни удивительно, С*-алгебры можно использовать и для формулирования общей теории относительности Эйнштейна. Обычно общая теория относительности формулируется в терминах пространственно–временной геометрии, но Роберт Герох [4] продемонстрировал, что возможна эквивалентная формулировка в терминах семейства всех гладких функций в пространстве–времени, а это семейство собственно и есть С*-алгебра. Иными словами, можно забыть о самом пространстве–времени и иметь дело исключительно с С*-алгеброй гладких функций[33].
Эта алгебра гладких функций обладает одним простым свойством: умножение двух функций не зависит от порядка факторов, то есть если f и g — гладкие функции в пространстве–времени, то f∙g = g∙f; такое умножение мы называем коммутативным, а алгебры, обладающие таким свойством, — коммутативными алгебрами. Оказывается, от этого простого свойства зависят многие важные черты геометрических пространств. Это становится очевидно, если мы от него избавимся. Алгебры, лишенные этого свойства, именуются некоммутативными алгебрами. Ален Коннэ [1] предложил рассматривать эти алгебры так же, как алгебры гладких функций, и допустить, что они также определяют некоторые пространства. Эта идея сработала, и эти новые пространства сейчас называются соответственно некоммутативными пространствами. Геометрическая теория, выросшая из исходной работы Коннэ, названа некоммутативной геометрией. Особую роль в этой новой геометрической теории играют пространства, определяемые в терминах некоммутативных С*-алгебр.
Некоммутативные пространства представляют собой мощные обобщения обычных (коммутативных) пространств. Многие пространства, которые до сих пор считались трудно описываемыми или патологическими, изящно ложатся в картину некоммутативной геометрии. Удивительное свойство некоммутативных пространств — их глобальный характер. В понятийном поле некоммутативной геометрии все локальные понятия, такие, как понятия точки и ее окрестностей, бессмысленны в принципе.
Подведем итоги. С*-алгебры можно использовать:
1. Для формулировки квантовой механики.
2. Для формулировки общей теории относительности.
3. Для определения некоммутативного пространства.
В свете этих результатов вполне естественно искать С*-алгебру, которая могла бы выполнять все это вместе. При этом квантовая механика и общая теория относительности были бы соответственно обобщены и объединены в теоретическом поле некоммутативного пространства. Ценой такого объединения стала бы нелокальность. Дальше я приму, что такая С*-алгебра (обозначим ее буквой А) найдена, и предположу, что она корректно описывает модель физики ниже планковского порога. Отметим, что, даже не зная точной формы алгебры А, из самого ее существования можно вывести множество важных фактов, касающихся гипотетического фундаментального уровня[34]. Важно отметить, что недавно были обнаружены некоторые глубокие связи между некоммутативной геометрией и такими популярными кандидатурами на финальное объединение, как теория суперструн и М–теория [3, 19].
5.4. Возникновение времени
В некоммутативной геометрии не существует понятия времени как последовательности моментов (поскольку моменты — понятия локальные), но понятие состояния физической системы остается валидным. Это вызвано тем, что понятие состояния нелокально: находиться в том или ином состоянии может система в целом. С каждой С*-алгеброй может быть связана другая алгебра, называемая алгеброй фон Неймана. Грубо говоря, алгебра фон Неймана — это С*-алгебра вместе с определенным состоянием[35]. Это состояние исполняет две функции.
Во–первых, оно позволяет нам определить параметр t, имитирующий время. Необходимо подчеркнуть, что это не обычное время: он только имитирует время (говоря технически, t — параметр однопараметрической группы). Он подобен времени, поскольку, используя параметр t, мы можем записать динамическое уравнение, описывающее поведение системы, однако это не время в обычном смысле слова, поскольку параметр t зависит от состояния: если система переходит в иное состояние, значение параметра t меняется и вместе с ним меняется также весь динамический режим.
34
В сущности, кандидатура на роль такой алгебры предлагается в [11, 12, 14, 15]. Однако, поскольку модель, представленная в этих работах, очевидно, не окончательная, мы не станем здесь углубляться в ее детализацию.