Рис.11. Изображение на диаграмме Пенроуза графиков функций – sin(r),
гиперболы 1/r и параболы r2
Добавим, что универсальными изобразительными свойствами обладают также и другие релятивистские системы координат, например, координаты Крускала. В этих координатах размеры фигур ограничены рамками полотна, координатной сетки. Для примера на рисунке рис.12d‑g также условно изображены традиционный гиперкуб – тессеракт, синусоида и секундомер, который аналитически, в уравнениях представляет собой обычную окружность.
Рис.12. Фигуры на диаграммах Крускала
Очень интересно на диаграмме Пенроуза выглядит наипростейшая геометрическая фигура – круг. На рис.13 он изображен в виде стилизованного секундомера, который приобрел довольно забавные очертания, деформируясь в некоторое подобие квадрата.
Рис.13. Диаграмма Пенроуза для вращающейся в круге стрелки. Анимация: http://samlib.ru/img/p/putenihin_p_w/diapen242/fig13.gif
Трудно представить, но на рисунке действительно изображен круг с вращающейся внутри стрелкой. Особенно забавно картина выглядит на анимации. В процессе движения по окружности стрелка постоянно изгибается – образуя горб то по ходу движения, то против него. И только в четырех точках своей траектории стрелка превращается в прямую линию – на светоподобных траекториях.
Как и в случае диаграммы с бесконечными горизонтами, 2М‑диаграмма так же является просто координатной системой, ничем принципиально не отличающейся от декартовой. Поэтому и здесь мы вполне можем рассматривать в качестве координат не время и радиус, а обычные декартовы координаты x-y. Однако в этом случае возникает интересный вопрос. На таких 2М‑диаграммах Пенроуза имеется обнаруженная ранее право-левая анизотропия, полярность времени [4]. Интересно выяснить, каким образом она проявится в этом координатном случае? Каждому значению x, согласно анизотропии диаграммы, должны соответствовать два разных значения y. Для уравнений "прямых" линий всё, вроде бы, останется по-прежнему – величина зависит от скорости изменения функции. Но как быть с единичной точкой, об истории которой ничего не известно?
Допустим, нам нужно изобразить два отрезка с одинаковыми координатами концов. Очевидно, что точки отрезка будут изображаться последовательно, а это уже движение, имеющее и направление и скорость. Вот его и можно использовать. Однако это не обязательно. Если использовать оба значения параметра анизотропии m, то будут изображены два симметричных, зеркальных объекта. Эти объекты зеркальны относительно оси m = 0, а их диаграммные координаты однозначно определены соответствующими параметрами анизотропии m и n.
Таким образом, имея функции преобразования, можно построить любую геометрическую фигуру. Давайте построим "секундомер", такой же, как на диаграммах с бесконечными горизонтами рис.13.
Построение "секундомера" можно произвести симметрично как с пересечением двух изображений друг с другом, так и без пересечения, когда каждое из изображений будет полностью находиться в одной из областей – выше или ниже оси m = 0. Мы построим только одно полноразмерное изображение каждого из выбранных объектов для одного из значений знака m – рис.14.
На рисунке изображены три объекта – две окружности, внутри которых вращаются стрелки – указатели, наподобие секундомеров, и группа из концентрических окружностей. Отметим со всей определенностью, что на рисунке изображены только окружности (и пара стрелок – указателей). Левая, каплевидная синяя окружность имеет радиус R = 0.6, а центр её расположен в точке с координатами x = 3, y = 0.1. Длина указателя или радиус окружности, которую описывает его конец, равны 0.53. Параметр преобразования m имеет положительный знак. Все геометрические параметры фигур, их размеры выбраны такими, чтобы они занимали достаточно большую область рисунка.
Рис.14. Секундомеры на координатной 2М‑диаграмме. Анимация: http://samlib.ru/img/p/putenihin_p_w/diapen242/fig14.gif
Обратим внимание, что диаграмма явно "чувствует" знак параметра, поскольку в данном случае указатель секундомера на анимации движется в правильном направлении, по часовой стрелке. Однако, если мы принудительно поменяем знак параметра, то картинка просто перевернётся, зеркально отразившись от оси x. В этом случае направление движения указателя также изменится на противоположное.
Этот переворот виден на правой стороне диаграммы. Фрагмент отдаленно напоминает картину "Твердость памяти" Сальвадора Дали с "плавящимися часами". У нас на диаграмме, как и выше, так же изображен круг, в котором вращается стрелка – указатель. Параметры окружности: радиус R = 5.66, а центр имеет координаты x = 10, y = 0. Длина указателя или радиус окружности, которую описывает его конец, равны 5,6. Знак параметра m выбран отрицательным и диаграмма это вновь "почувствовала", направив вращение указателя против часовой стрелки. Если для этой окружности мы выберем знак параметра m положительным, то "секундомер" просто отразится зеркально от оси x, а указатель будет вращаться, как положено – по часовой стрелке. Слева внизу диаграммы для наглядности изображена группа концентрических окружностей.