Диаграмма в форме ромба (квадрата)
То, что диаграмма Пенроуза в форме ромба (квадрата) имеет сходство с декартовой системой координат наглядно показано на рис.5. На рисунке изображена обычная система координат Декарта, но оси подвергнуты преобразованию, во многом напоминающем логарифмическую сетку. Главное отличие состоит в том, что логарифмическая шкала имеет бесконечную протяжённость. Здесь же используется преобразование φ = arctg(x), θ = arctg(y). Соответственно, по координатам x и y откладываются не эти величины, а их арктангенсы. При изменении параметров x и y в пределах от минус до плюс бесконечности, каждый из параметров φ и θ изменяется в конечном диапазоне от –π/2 до +π/2.
На такой двухкоординатной диаграмме Декарта можно изобразить в виде плоскости всю бесконечную Вселенную. На рисунке рис.5a явно не видно, что диаграмма (система координат) является изотропной, поскольку на ней традиционные лучи света изображены кривыми линиями, дугами. Координаты лучей света описываются уравнениями y = ±x+C, то есть, единичному приращению координаты x соответствует такое же единичное приращение координаты y. На координатной сетке эти световые линии являются диагоналями единичных координатных квадратов.
Пометим на рис.5a точками abcde несколько смежных диагоналей квадратов координатной сетки. Под квадратом понимается прямоугольник со сторонами x = y = 1, хотя действительно квадратами выглядят только диагональные.
Рис.5. Конформная декартова диаграмма Пенроуза до и после поворота
Тем не менее, аналитически в системе координат x-y рисунка рис.5a любая из таких дуг описывается уравнением y = ±x + C, то есть, является линией с наклоном в 45о к осям этих координат. Это можно отчетливо увидеть по значениям координат точек abcde. Метрически вдоль осей φ и θ откладываются значения углов, но обозначаются эти точки соответствующими величинами арктангенсов.
Такие же последовательности координат (x, y) можно составить и для всех других возможных точек, в нашем случае с целочисленными координатами, для любой подобной же кривой-дуги на диаграмме. Обратив внимание на явную закономерность, запишем уравнения этих линий в более компактном общем виде:
Смысл этого уравнения кажется достаточно очевидным: это обобщённое уравнение всех возможных кривых линий на рис.5a в системе конформных сжатых осей x и y. Значения φ и θ откладываются вдоль тех же осей x и y (оси коллинеарны), но по их собственной шкале от ‑π/2 до +π/2, в чем, собственно, и состоит конформное сжатие, то есть, диаграмма Пенроуза – это квадрат со сторонами, равными π.
Из уравнения (2) следует, что каждая дуговая линия имеет некий номер C и соответствующее ему уравнение при любых значениях x и y на всей числовой оси. Иначе говоря, константа C является обобщённым обозначение номеров кривых линий. Теперь вспомним, что все эти кривые линии мы построили, соединяя диагонали смежных четырёхугольников. Можно назвать эти линии удлинёнными диагоналями. Но на этом же рисунке видно, что и прямые линии исходной, тангенциальной сетки являются в свою очередь точно такими же удлинёнными диагоналями, если координатной сеткой считать кривые линии, дуги. То есть, наборы прямых и кривых линий являются по отношению друг к другу координатными сетками. Иначе говоря, имея указанную сетку из кривых линий, мы таким же образом можем построить и прямые линии, просто соединяя диагонали смежных криволинейных четырёхугольников.
Если теперь уже дуги рассматривать как координатную сетку, то обнаружится, что номера дуг остались теми же самыми. То есть, дуга, проходящая через координату xy(3,0) и имеющая, соответственно, номер C = 3, точно также проходит через такую же координату rt(3,0) и имеет точно такой же номер C = 3. Вот здесь мы и обнаруживаем конформную взаимосвязь между координатами x-y и координатами r-t, описываемую уравнениями арктангенсов.
В декартовой системе координат на рисунке рис.5 массивы прямых ортогональных линий и криволинейных условно ортогональных линий образуют каждая своеобразную координатную сетку. То есть, на рис.5a в качестве координатной сетки мы использовали прямые линии и построили в этих координатах массивы криволинейных линий. Но и, наоборот, эти кривые линии мы можем рассматривать также как линии координат, сетку. На рисунке рис.5a оси координат r-t и их дуга abcde имеют наклон в 45 градусов.