Гиппократ. Ия никогда не слышал об этом. Но вспоминаю, что Театет рассказывал мне об очень интересной открытой им теореме о несоизмеримых величинах. Он показал теорему своему учителю Теодору, а тот в свою очередь вытащил письмо от Архитаса, где было изложено то же доказательство, почти слово в слово.
Сократ. В поэзии это невозможно. Вот видишь, появилась новая проблема. Но продолжим. Как ты объяснишь, что математики разных стран обычно согласны по поводу математических истин, в то время как о государственных вопросах персы и спартанцы, например, имеют совершенно противоположные мнения, чем в Афинах, и, более того, даже между собой мы часто не соглашаемся друг с другом?
Гиппократ. Я отвечу на твой последний вопрос. В делах, касающихся государства, заинтересован каждый, и эти частные интересы иногда очень противоречивы. Вот почему трудно прийти к соглашению. А математик руководствуется просто стремлением найти истину.
Сократ. Ты хочешь сказать, чго математики пытаются найти истину, которая совершенно не зависит от их собственных интересов?
Гиппократ. Да.
Сократ. Но тогда мы ошибались, думая, что математики выбирают объекты своего изучения по собственному желанию. Выходит, объект их изучения имеет несколько форм существования, которые независимы от личности математика. Мы должны разрешить эту новую загадку.
Гиппократ. Я не знаю даже, с чего начать.
Сократ. Если у тебя еще осталось терпение, то попытаемся вместе. Скажи мне, что общего между мореплавателем, который ищет необитаемый остров, и живописцем, ищущим новую краску, которая не была бы использована раньше?
Гиппократ. Я думаю, что они обогащают человечество открытиями.
Сократ. Но в чем, по твоему мнению, состоит различие между ними?
Гиппократ. Я думаю, что мореплавателя можно назвать открывателем, а живописца — изобретателем. Мореплаватель открывает остров, который существовал раньше, только он был неизвестен, в то время как живописец изобретает новую краску, которая до этого вообще не существовала.
Сократ. Никто не смог бы ответить на этот вопрос лучше. Но, скажи мне, математик, ищущий новую истину, открывает ее или изобретает? Открыватель ли он, как мореплаватель, или изобретатель, как живописец?
Гиппократ. Я не могу ответить на этот вопрос, так как у меня еще нет никакого собственного опыта. Но Театет рассказывал мне о их совместных исследованиях с Теодором, и поэтому я думаю, что математика скорее нужно считать открывателем, хотя он имеет сходство и с изобретателем.
Сократ. Хорошо сказано. Мне кажется, что математик в равной мере открыватель и изобретатель. Но почему ты ответил так быстро? Ты хотел сказать, что математик в известном смысле является также и изобретателем?
Гиппократ. Математик сам создает понятия, которые он изучает. При этом, когда математик создает новое понятие, он поступает так же, как изобретатель. Когда же он изучает понятие, введенное им самим или кем-либо другим, или формулирует теорему — на языке математики — и доказывает ее, то он поступает как открыватель. После всего, что мне рассказал Театет, «открытие» теорем в работе математиков играет, по-видимому, большую роль, чем «изобретение» понятий, так как самые простейшие понятия, например понятия числа и делимости, приводят к столь многим и глубоким проблемам, что математики до сих пор смогли решить лишь небольшую их часть.
Сократ. Очевидно, дорогой Гиппократ, твой друг Театет уже многое изучил и, как я вижу, успешно. Мне кажется, что математик больше похож на открывателя. Он — смелый мореплаватель, плавающий по неизвестному морю и исследующий его побережья, острова и водовороты. Я хотел бы только добавить, что математик в некотором роде также изобретатель, в особенности когда он вводит новые понятия. Ведь каждый открыватель должен быть в какой-то мере изобретателем. Например, если мореплаватель хочет достичь мест, до него никем не достигнутых, он должен построить корабль, который был бы лучше других кораблей. Новые понятия, введенные математиками, подобны новым кораблям, которые поддерживают исследователя в великом море мыслей. Прежде всего математик является открывателем; изобретателем он является лишь постольку, поскольку им должен быть открыватель.
Гиппократ. Дорогой мой Сократ, я уверен, что в Афинах и, вероятно, даже во всей Элладе нет человека, который так же, как ты, владел бы искусством вести беседу. Каждый раз, когда ты обсуждаешь мои слова, ты говоришь то, о чем я, возможно, подозреваю, но не могу выразить с такой ясностью/Из твоего заключения следует, что главная цель математика — исследование секретов и загадок в море человеческого мышления. Они существуют независимо от личности математика, но не от человечества в целом. Математик может вводить по своему усмотрению новые понятия в качестве рабочего инструмента. Однако он не совсем свободен в этом, потому что новые понятия должны быть полезны для его работы. Мореплаватель тоже может построить любой корабль по своему усмотрению, но мы бы сочли его сумасшедшим, если бы он построил корабль так, что тот развалился на куски при первом же шторме. Теперь, я думаю, все ясно.