Сократ. Если ты все так ясно представляешь, попробуй снова ответить на вопрос, что же изучает математика.
Гиппократ. Попытаюсь, но, разумеется, это снова будет неполный ответ, ведь я все еще понимаю лишь часть истины.
Сократ. Тогда смело вперед, подобно отважному мореплавателю!
Гиппократ. Теперь я вижу: раньше мы ошибочно утверждали, что математика занимается вещами, которых в действительности нет. Эти вещи существуют, но не так, как существует камень или дерево. Мы их не можем увидеть, коснуться, мы можем только охватить их своими мыслями. Есть другой мир — мир математики, отличный от обычного мира, в котором мы живем. А математик — отважный мореплаватель, не отступающий перед трудностями, опасностями и риском, подстерегающими его.
Сократ. Друг мой, твоя юношеская энергия почти сбивает меня с ног, но боюсь, что в пылу энтузиазма ты не замечаешь некоторых вопросов.
Гиппократ. Каких вопросов? Ты пожертвовал мне так много времени, но, прошу тебя, не оставляй меня на полпути и скажи, что я позабыл.
Сократ. Мне кажется, мы все еще не нашли ответа на твой вопрос. Мы оба, вероятно, теперь лучше понимаем, что такое собственно математика. Но на вопрос о смысле и цели математики, этого океана человеческих мыслей, мы еще не ответили.
Гиппократ. Ты прав. Я убедился, что при изучении математики приобретаешь надежные основополагающие знания. Когда я погружусь в этот чудесный мир, ко мне, наверное, придет то прекрасное чувство, которого до сих пор я не находил: есть истина, которая не оставляет место сомнению. Я понял, что мир математики существует в действительности и независимо от меня, пусть не в том роде, как камни и деревья, но тем не менее он существует. К чему, собственно, исследовать этот мир? Может быть, на этот раз ты отложишь в сторону свой метод и попросту ответишь на мой вопрос? Боюсь, что сам я не способен найти разумный ответ.
Сократ. Нет, мой друг, если бы даже я смог, я бы не сделал этого, и только ради твоей же пользы. Знания, получаемые без труда, ничего не стоят. До конца мы понимаем только то — возможно, с помощью извне, — что узнаем сами, подобно тому как растение может использовать только ту воду, которую оно высасывает из почвы собственными корнями.
Гиппократ. Хорошо. Продолжим наши поиски тем же методом, но помоги мне вопросом.
Сократ. Теперь я вижу, дорогой Гиппократ, что мы должны вернуться назад, если хотим продвинуться вперед.
Гиппократ. Как далеко нам следует вернуться?
Сократ. Я думаю, мы должны вернуться к тому моменту, когда мы установили, что математик имеет дело не с числом овец, кораблей или других реальных вещей, а с числами как таковыми. Me думаешь ли ты, однако, что математическое открытие, верное для простых чисел, справедливо также и для чисел реальных предметов? Например, математик определяет, что 17 — это простое число. А разве не правда, что ты не можешь 17 живых овец равномерно распределить между людьми, если их не 17 человек?
Гиппократ. Конечно, это правда.
Сократ. Значит, то, что математик знает о числах, можно применять к действительно существующим предметам?
Гиппократ. Это так.
Сократ. А в отношении геометрии? Не опирается ли архитектор на геометрические теоремы, когда он чертит план постройки? Не использует ли он знаменитую теорему Пифагора, когда вычерчивает прямой угол?
Гиппократ. Ты прав.
Сократ. А не использует ли геометрию также землемер?
Гиппократ. Это общеизвестно.
Сократ. А корабельный плотник или кровельщик?
Гиппократ. Они поступают точно так же.