Здесь ф — число граней, ε — число ребер, ω — число вершин. Для сферы, разбитой на 8 треугольников, получаем ф = 8, ε = 12, ω = 6, X= 2.
От изменения какого-либо компонента формулы число Эйлера не меняется.
Рассмотрим теперь специальный случай, в котором все треугольники, вымостившие некоторую поверхность, полностью граничат всеми ребрами с соседями. Тогда каждое ребро принадлежит одновременно двум треугольникам. Итак, ε = Зф/2.
Если поверхность плоская, то общая сумма внутренних углов треугольников τ равна τ = 180ф. В то же время τ = З60ω. Отсюда следует, что поверхность может быть уплощена только в том случае, если
Поскольку для сферы число Эйлера х = 2, уплощить ее невозможно.
На моем сайте можно загрузить интерактивный Java-апплет, иллюстрирующий излучение гравитационных волн двойной системой нейтронных звезд. Для работы с ним ваш браузер должен поддерживать Java. Апплет занимает около 11 Кбайт, так что, если у вас медленный Интернет, загрузка отнимет какое-то время[128].
Следует заметить, что программа использует алгоритмы вычислений, основанные на общей теории относительности в ее современном виде. Эффекты физики вселенной Диаспоры апплет не учитывает.
Период вращения и расстояние между компонентами системы связаны законом Кеплера. Квадрат периода T пропорционален кубу расстояния а:
Здесь M= m1 + m2 ― совокупная масса компонентов, a G — гравитационная постоянная. Общая энергия излучения гравитационных волн обратно пропорциональна пятой степени расстояния между звездами:
Здесь μ = (m1 m2)/(т1 + т2) ― приведенная масса системы. Краткое обоснование соотношения таково: амплитуда гравитационного излучения каждой звезды пропорциональна ее массе тi и центробежному ускорению ω2ai, где аi — расстояние от центра масс системы, а ω = 2π/Т, а также обратно пропорциональна расстоянию до наблюдателя r. По определению m1a1 = m2a2 так что звезды генерируют гравитационные импульсы в точности одинаковой амплитуды, а разность фаз между ними составляет 180º. Временная задержка при прохождении звезд не дает волнам скомпенсировать друг друга и поставляет дополнительную разность фаз, пропорциональную (а1+а2)ω. Итак, амплитуда волны, регистрируемой удаленным наблюдателем, составляет
A ~ μa2ω3 /r
Мощность излучения пропорциональна квадрату амплитуды. Подставляя вместо ω полученное из закона Кеплера соотношение
ω2 ~ M/a3, получаем:
L~ А2r2
L ~ M3μ2Ia5
Точные численные коэффициенты при G и c можно найти из анализа размерностей, но все же множитель 32/5 требует учета общей теории относительности. Точное описание движения пробных частиц также выходит за рамки настоящего очерка, но оценить искривление орбиты можно, умножив соотношение для А на Т/2. Получаем
dx/x ~ μа2ω2/r
Воспользовавшись законом Кеплера и подставляя численные коэффициенты при G и c, имеем
dx/x ~ (G2Mμ)/(c4ar)
Вычисляя время до столкновения звезд, учтем, что суммарная энергия системы (кинетическая плюс потенциальная) составит
E = — GMμ/a + m1ω2a12/2 + т2ω2а22/2
E = — GMμ/a + m1ω2 а2/2
E = — GMμ/a + — GMμ/2a
E = — GMμ/2a
Дифференциальное уравнение для ее изменения во времени получается из условия равенства этой энергии и энергии гравитационных волн [129]
dE/dt = GMμ/2a2 x da/dt
dE/dt = — L
GMμ/2a2 x da/dt = — (32G4M3μ2)/5c5a5
da/dt = — (64G3M2μ/5c5a3)
dt/da = — (5c5a3/64G3M2μ)
129
Здесь возникает расхождение со вселенной "Диаспоры", где это соотношение не соблюдается.