На следующем уровне имеется угловой момент, и волновая функция «дрейфует» от центра ядра:
Если скомбинировать последнюю функцию со своим аналогом, повернутым на 90 градусов в любом направлении и дополнительно умноженным на i (V‾— 1), получим собственные функции углового момента (то есть волновые функции, для которых значение этого параметра определено) с шагом ± 1 ед. Они показаны ниже, с цветовой кодировкой комплексной фазы.
Поверхность гиперсферы в пятимерном пространстве описывается уравнением
где х, у z, и, W ― пространственные координаты, а система координат отцентрирована по центру гиперсферы. Предположим, что гиперсфера вращается как целое. Общее выражение для скорости любой точки вращающегося тела не зависит от числа измерений и дается уравнением
где матрица угловых скоростей тела обозначена как Ω, а вектор точки - как r. Матрица должна обладать свойством антисимметричности, то есть Ωij = ―Ωji. $ Чтобы доказать это, заметим, что Ω ― матрица производных по времени от компонент линейного преобразования позиции точки в момент времени t=0 в позицию, соответствующую повороту. Матрица преобразования M(t) диктует такой поворот пары базисных векторов идеально жесткого тела еi и еj, что их произведение, измеряющее угол между векторами, остается неизменным. Скорость изменения этого произведения во времени, следовательно, равна нулю.
Здесь мы использовали соглашение о суммировании, введенное Эйнштейном, и просуммировали по всем значениям повторяющихся индексов (например, k и r). Чтобы получить четвертое уравнение из третьего, заметьте, что M(O) ― просто матрица идентичности. Переходя к искомому соотношению, мы отбросили временную зависимость элементов матрицы угловых скоростей, поскольку предполагаем, что на тело не действуют никакие внешние силы, а значит, Ω постоянна. В пяти измерениях общая антисимметричная 5 х 5-матрица Ω будет иметь 10 независимых параметров, но всегда можно выбрать базис, в котором она приводится к каноническому виду:
Отметим, что координаты х и у выбраны так, что они лежат в одной плоскости вращения, координаты z и и - в другой, а координата w лежит в плоскости, перпендикулярной им обеим. Чтобы понять, почему всегда можно выбрать такой базис, сперва учтем, что определитель любой антисимметричной матрицы N x N, где N ― нечетное число, равен нулю. Это так, потому что detΩ = detΩT, где T означает транспонирование, а определитель - собственно, N ― членная сумма произведений, в которой знаки везде изменены на противоположные для транспонированных компонент антисимметричной матрицы. Итак, detΩT = ―(detΩ) для нечетных N. Отсюда следует, что по крайней мере один ненулевой вектор в нуль-пространстве Ω наверняка существует. Выбирая его как опорное направление координаты w, ось вращения, мы «заполняем» последние столбец и строку матрицы Ω нулями. Задача сводится к четырехмерной. Четырехмерный случай будет рассмотрен дальше.
Пока же перемножим вектор для общей точки r = (x,y,u,z,w) на каноническую матрицу и получим
Итак, для любой точки c x=y=z=u=0 скорость равна нулю. Набор таких точек составляет ось вращения тела - ось w. Сечение осью исходной гиперсферы даст два полюса, на которых w = ±R. Физически возможен, но космологически маловероятен случай, когда ω2 = 0, то есть, чтобы скорость стала равной 0, достаточно удовлетворить условию х = у = 0. При этом остальные три координаты можно выбирать произвольно: они образуют трехмерный объем. Сечение объектом гиперсферы даст единственный полюс: двумерную сферу