z2 + u2 + w2 = R2.
Два экваториальных круга:
В первом случае скорость вращения поверхности равна ω1R, а во втором ― ω2R. Итак, в пятимерном пространстве объекты могут вращаться одновременно с различными скоростями.
Перейдем к рассмотрению четырехмерного случая. Здесь общая матрица угловых скоростей задается шестью параметрами:
Отметим, что всегда можно ориентировать систему координат так, чтобы матрица А приводилась к каноническому виду. Один из способов это сделать требует отыскания собственных векторов AA, матричного произведения А на себя саму. Это действительная симметричная матрица, и, следовательно, у нее четыре ортогональных собственных вектора. Они образуют пары с собственными значениями ― ω12 и ― ω22. Смысл этого явления легко выяснить из геометрических аналогий: действуя А на любой вектор, лежащий в одной из плоскостей вращения, мы поворачиваем этот вектор на 90 градусов и умножаем на соответствующую компоненту ω. Действуя А дважды, мы восстанавливаем исходное значение вектора и умножаем его компоненты на ω2. Каждая пара собственных векторов лежит в одной из плоскостей вращения.
Другой способ заключается в применении линейного оператора - звезды Ходжа. Обычно дуальная матрице M матрица Ходжа записывается как ★ М, отсюда кодовое обозначение макросферы в Диаспоре. В контексте четырехмерной евклидовой геометрии звезда Ходжа отображает плоскости на другие плоскости. Например, если четыре используемых нами координаты обозначить как x,y,z,u, то дуальная плоскость Ходжа для плоскости ху ― плоскость zu. Аналогичным образом находятся и другие дуальные плоскости. Ситуация несколько осложняется тем, что при повороте в каждой плоскости придется выбирать из двух направлений вращения. Но, рассматривая А как сумму поворотов в шести координатных плоскостях, мы получаем дуальные плоскости для каждой из них без особого труда. Придется лишь поменять несколько знаков, чтобы соблюсти выбранную ориентацию, и вместо коэффициентов, соответствующих, например, координатам х и у, написать коэффициенты, соответствующие, например, координатам z и и. Можете самостоятельно проверить, что получается
Теперь мы хотели бы расписать А как сумму по вращениям в двух плоскостях: в одной плоскости, матрицу которой мы обозначим как S, и перпендикулярной к первой, чью матрицу мы обозначим как ★S. Иными словами, следует выбрать S, ω1, ω2 так, чтобы
Действуя оператором Ходжа, а также учитывая, что двукратное его применение восстанавливает исходную матрицу, получим
Первое из этих уравнений домножим на ω1 , а второе ― на ω2. Вычтем их друг из друга. Имеем
Чтобы найти значения ω1, и ω2, заметим, что результат применения матрицы S к вектору, перпендикулярному ее плоскости, равен нулю. Это возможно только в том случае, если определитель матрицы detS=0. Выпишем матрицу в явном виде и вычислим ее определитель. Это действие довольно утомительно.
Здесь мы ввели обозначения
Потребуем нормализовать матрицу S, чтобы |S|2 = |★S|2 = 1. Тогда значения ω1 и ω2 можно найти по отдельности. Между «амплитудами» исследуемых матриц имеется пифагорово соотношение. Как только А разбита на дуальные пары, становится легко найти индивидуальные скорости вращения.