В 2011 г. удалось связать проходимость червоточин с эффектом Хокинга (см. о нем раньше в книге): оказалось, что квантовое испарение увеличивает время закрытия даже сферически симметричной пустой червоточины, и в уравнениях состояния червоточины появляются, помимо массы и расстояния между горловинами, новые параметры, варьирование которых способно не только довести время проходимости червоточины до макроскопически значимых величин, но и, вопреки предположениям Красникова [132] и Игана, превратить ее в машину времени.
Теперь рассмотрим несколько иллюстративных примеров более подробно. Для их понимания желательно уверенное знание высшей математики и теории относительности, хотя я стараюсь
давать по возможности упрощенные определения (иногда даже в ущерб строгости). При первом чтении раздел, заключенный между символами ♠ и ♥ , можно опустить и вернуться к нему позднее.
♠
Глобально гиперболическое пространство M назовем закороченным путем через червоточину (shortcut), если оно может быть получено из пространства Минковского (в котором обычно формулируется теория относительности) заменой любого времениподобного плоского цилиндра C = Σ3i=1 xi2 < c2 некоторым иным математическим объектом так, что пространственно-разделенные точки пространства Минковского становятся времениподобно-разделенными в M и, следовательно, достижимыми по более короткому пути по сравнению с маршрутом через пространство Минковского. В качестве примера рассмотрим червоточину Морриса-Торна-Уилера с метрикой
ds2 = ―dt2 + dl2 + r(l)2(dθ2 + sin2θdφ2).
Здесь r(l) ― гладкая четная функция с минимумом в нулевой точке r(0) = r0. Для r > r0 можно перейти к координате r и переписать метрику в виде
где вид функции β(r) удается выбрать в известной мере произвольно. В частности, оказывается, что пространство-время можно сделать плоским почти везде, кроме сферического тонкого слоя («доменной стенки») Ξ диаметром δ, в котором β не равно 0 .В этом слое энергетическая плотность будет порядка 1/(δr0).
Для поддержания червоточины в рабочем состоянии достаточно сконцентрировать там порядка 10-3МΘT0 экзотической материи (здесь MΘ - масса Солнца, применяется система величин, в которой G = c = h = 1), в то время как наивные оценки для сферически симметричной червоточины давали значение порядка 1032MΘ !
При учете квантовых эффектов оказывается, однако, что эти 35 порядков величины «переехали» в параметр δ: характерный диаметр слоя даже меньше планковской длины, что делает этот пример абсолютно бессмысленным с практической точки зрения. Тем не менее он послужил отправной точкой для более реалистичных конструкций.
Попробуем построить одну из них. Положим
l > l0, r(―l0) = 0
(в этой области пространство-время идентично пространству-времени Минковского) и выберем г{[) так, чтобы
Сечение пространства-времени в этой метрике плоскостью t = Θ = 0 показано ниже (рисунок заимствован из работы S. Krasnikov, The quantum inequalities do not forbid spacetime shortcuts, Physical Review D 67 (10). 2003):
Тензор Эйнштейна для метрики Морриса-Торна-Уилера можно найти в ранее упоминавшемся учебнике Мизнера-Торна-Уилера «Гравитация» (уравнение 14.52). Из него следует, что нарушение ANEC действительно возможно только в сферическом слое
1 © (―l1,l1).
До сих пор выкладки соответствовали работе С. van den Broeck, A warp drive with more reasonable total energy requirements, Class. Quant. Grav., 16, 3973 (1999), по имени автора которой такое пространство-время называется «карманом ван ден Брука»; следует отметить, впрочем, что ван ден Брук опирался на известную работу Мигеля Алькубьерре (М. Alcubierre, The warp drive: hyper-fast travel within general relativity, class . Quant. Grav., 11: L73-L77 (1994).
132
«Дпя всякого пространства - времени