Заточенный в каменной толще светоносный объект представлял собой широкополосную трансляцию топологического пространства как математической концепции: набор точек (искорки), сгруппированных в открытые подмножества (содержимое одной и более мембран), определявших способ соединения точек друг с другом; при этом устранялась необходимость в таких расплывчатых понятиях, как расстояние и измерение. Если не учитывать тривиальный случай бесструктурного множества, концепция эта была проще всего в освоении, выступала общим предком почти каждого объекта, достойного называться пространством, сколь угодно экзотичного. В пещеру вел единственный туннель, предоставлявший доступ к необходимым базисным понятиям и аксиоматике, а выходов из нее насчитывалось около полудюжины. Их уровень понемногу понижался — по мере того, как выявлялись разнообразные следствия первоначального определения. Предположим, что «Τ» — топологическое пространство… и что отсюда следует? Кривые дорожки эти были вымощены небольшими драгоценными камнями, подключенными к общей сети и транслировавшими по ней промежуточные леммы и предложения на пути к общей теореме. Каждый туннель в Истинокопях был сооружен из этих тщательно выверенных шагов, каждая теорема, как глубоко ни была бы погребена, в принципе допускала ретроспективное прослеживание вплоть до какой-то изначальной посылки. И, скрепляя воедино громоздкую конструкцию собственно доказательства, каждая область математики предоставляла собственный набор формальных инструментов: множества аксиом, определений и правил дедукции, а также специализированный словарь, необходимый для точной формулировки теорем и конъектур.
Впервые повстречав Радью в Истинокопях, Ятима задала емей вопрос: почему неразумная программа не может попросту исследовать каждую формальную систему способом, указанным ей копателями, и автоматически выдать гражданам все желаемые результаты[12]?
— Двойка — простое число, — был ответ. — Тройка — простое число. Пятерка — простое число. Семерка — простое число. Одиннадцать — простое число. Тринадцать — простое число. Семнадцать…
— Хватит!
— Если бы я не устала, то могла бы продолжать до Большого Сжатия[13]. И ничего нового не открыла бы.
— Но ведь можно запустить несколько миллиардов программ одновременно — пускай себе роют в разных направлениях. Не страшно, если некоторым не повезет найти ничего интересного.
— Какие направления ты выберешь?
— Ну, не знаю… все?
— Несколько миллиардов слепых кротов тебе не помощники. Представь, что у тебя в распоряжении единственная аксиома, а для формулировки новых утверждений отведено не более десяти последовательных логических шагов. Уже после первого шага у тебя появится десять истин для дальнейшего изучения.
— Радья построила прямо перед Ятимой миниатюрную шахту и продемонстрировала свои слова примером. — После десяти шагов
— десять в десятой степени, или десять миллиардов. — Туннели в игрушечной шахте уже разветвились так, что отличить один от другого в этом месиве было невозможно; Радья запустила в них десять миллиардов сверкающих кротиков и заставила угольный ком ярко засиять. — Двадцать шагов — и у тебя десять в двадцатой степени вариантов. Слишком много, чтобы исследовать их все одновременно. В десять миллиардов раз больше, чем нужно. Как ты собираешься отсеивать неверные пути? Или ты намерена распределять рабочее время кротов между всеми путями, замедляя их до такой степени, что вся их работа совершенно обессмыслится? — Кроты засновали туда-сюда, освещая своим сиянием каждый туннель в пропорциональной мере — и постепенно огоньки, означавшие их активность, померкли и слились с окружающими потемками. — Проклятие экспоненциального роста сложности вездесуще. Ты знаешь, отчего почти вымерли плотчики? Вот-вот. Если бы мы достаточно обезумели, могли бы попытаться превратить всю планету — а то и всю Галактику — в вычислительное устройство, призванное решать такого рода проблемы прямым перебором… и даже в таком случае, думаю, настал бы конец Вселенной, а мы бы все еще ковырялись на подступах к Последней теореме Ферма[14].
— Но можно ведь усовершенствовать программы, — настаивала Ятима. — Научить их селекции перспективных путей. Пускай делают обобщения на основе примеров, формулируют конъектуры и так подбираются к доказательствам.
12
Ятима формулирует своими словами проблему формализации математики, впервые поставленную Гильбертом и решенную (в отрицательном смысле) Геделем.
13
B теоретической космологии так называется сценарий коллапса Вселенной, когда расширение сменяется стационарным состоянием и затем сжатием. Современная экспериментальная астрофизика считает его нереализуемым.