y2 = 410 286 423 278 424 ⋅ x2 + 1
gehorchen. Wie man sieht, handelt es sich um den gleichen Typ von Gleichung wie y2 = 2 ⋅ x2 + 1, y2 = 3 ⋅ x2 + 1, y2 = 5 ⋅ x2 + 1 oder y2 = 991 ⋅ x2 + 1. Nur hier eben mit einem riesigen Faktor vor dem x2.
9 Für Kenner: Der Wert 70 rührt daher, weil 70 Hundertstel, also 0,7, ziemlich genau dem natürlichen Logarithmus von 2 entsprechen.
10 Aber das ist erst der Anfang dessen, was die Mathematik an großen Zahlen zu liefern imstande ist.
Ein Beispiel einer wirklich sagenhaft großen Zahl, gegen die sogar 3↑↑↑3 verblasst, finden wir aufgrund einer Erkenntnis, die dem britischen Mathematiker Reuben Louis Goodstein im Jahre 1944 gelang. Um sie nachvollziehen zu können, müssen wir allerdings ein wenig ausholen:
Zuerst erklären wir, was die Darstellung „zu einer Basis“ bedeutet. Eine „Basis“ ist dabei eine von 1 verschiedene Zahl. Betrachten wir zum Beispiel die kleinstmögliche Basis 2 und die Zahl 42. Wir dividieren die vorgelegte Zahl durch die Basis, in unserem Beispiel 42 : 2, erhalten 21 als Quotienten und 0 als Rest und schreiben folglich
42 = 21 × 2 + 0.
Jetzt dividieren wir den Quotienten durch die Basis, in unserem Beispiel 21 : 2, und bekommen 10 als Quotienten und 1 als Rest, also
21 = 10 × 2 + 1.
Das Spiel setzen wir mit dem nächsten Quotienten so lange fort, bis es beim Quotienten Null endet. Der Reihe nach bekommt man so aus den Divisionen die Resultate
42 = 21 × 2 + 0
21 = 10 × 2 + 1
10 = 5 × 2 + 0
5 = 2 × 2 + 1
2 = 1 × 2 + 0
1 = 0 × 2 + 1 .
Jetzt setzt man diese Resultate ineinander ein:
42 = 21 × 2 + 0
= (10 × 2 + 1) × 2 + 0 = 10 × 22 + 1 × 2 + 0
= (5 × 2 + 0) × 22 + 1 × 2 + 0 = 5 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0
= (2 × 2 + 1) × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0 = 2 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0
= (1 × 2 + 0) × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0 =
1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0.
Mit dem Ergebnis
42 = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0
ist die Zahl 42 zur Basis 2 dargestellt. Wir nennen die vor den Potenzen von 2 auftretenden Faktoren 1, 0, 1, 0, 1 und auch die zum Schluss aufgeschriebene 0 (es ist der Faktor der Potenz 20, die mit 1 übereinstimmt, weil man jede Zahl zur nullten Potenz gleich 1 setzt) die „Ziffern“ der Zahl 42 zur Basis 2. Die oben angeschriebene Darstellung von 42 zur Basis 2 wird gerne mit der Bezeichnung (1 0 1 0 1 0)2 abgekürzt, ausführlich:
42 = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0 = (1 0 1 0 1 0)2 .
Man kann 42 natürlich auch zur Basis 5 darstellen. In diesem Fall lauten die Divisionen
42 = 8 × 5 + 2
8 = 1 × 5 + 3
1 = 0 × 5 + 1 .
Jetzt setzt man die einzelnen dieser Resultate ineinander ein:
42 = 8 × 5 + 2
= (1 × 5 + 3) × 5 + 2 = 1 × 52 + 3 × 5 + 2,
mit dem Ergebnis
42 = 1 × 52 + 3 × 5 + 2 = (1 3 2)5 .
Noch einfacher ist es, 42 zur Basis 7 darzustellen. Da gibt es nur zwei Divisionen
42 = 6 × 7 + 0
6 = 0 × 7 + 6 ,
woraus sich unmittelbar die Darstellung
42 = 6 × 7 + 0 = (6 0)7
ergibt. Genauso leicht ist die Darstellung von 42 zur Basis 10. Auch hier gibt es nur zwei Divisionen
42 = 4 × 10 + 2
4 = 0 × 10 + 4,
woraus die Darstellung
42 = 4 × 10 + 2 = (4 2)10
folgt. Die Darstellung einer Zahl zur Basis 10 ist uns seit Adam Ries wohlbekannt: Es ist die übliche Schreibweise von Zahlen im Dezimalsystem.
Im Folgenden sind aber die verschiedenen Basen wichtig. Denn nur so verstehen wir, was Goodstein das „Aufblähen“ einer Zahl nennt: Beim „Aufblähen der Zahl 42 von der Basis 5 zur Basis 6“ ersetzt man in der Darstellung
42 = 1 × 52 + 3 × 5 + 2
alle vorkommenden Zahlen 5 durch 5 + 1 = 6 und berechnet die dabei entstehende Zahclass="underline"
1 × 62 + 3 × 6 + 2 = 36 + 18 + 2 = 56.
Beim Aufblähen von der Basis 5 zur Basis 6 ist also aus 42 die größere Zahl 56 entstanden. Ebenso können wir 42 von der Basis 7 zur Basis 8 aufblähen: Ausgehend von 42 = 6 × 7 + 0 bildet man, weil 7 durch 7 + 1 = 8 ersetzt wird, 6 × 8 + 0 = 48. Hier ist aus 42 die Zahl 48 entstanden. Und beim Aufblähen der Zahl 42 von der Basis 10 zur Basis 11 ersetzt man 10 durch 10 + 1 = 11 und bildet 4 × 11 + 2. Es ergibt sich die aufgeblähte Zahl 46. Bevor wir die Zahl 42 von der Basis 2 zur Basis 3 aufblähen, müssen wir aber noch eine weitere Forderung berücksichtigen, die Goodstein beim Aufblähen erhob: 42 lautet zur Basis 2 bekanntlich
42 = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0.
Hier kommen Hochzahlen vor, die man ebenfalls zur Basis 2 darstellen kann, nämlich
5 = 1 × 22 + 0 × 2 + 1, 4 = 1 × 22 + 0 × 2 + 0,
3 = 1 × 2 + 1 und 2 = 1 × 2 + 0.
Diese Darstellungen der Hochzahlen fügt man in die obige Formel ein, so dass eine Darstellung von 42 entsteht, in der nirgendwo, auch nicht in den Hochzahlen, Zahlen vorkommen, die größer als 2 sind:
.
Der Einfachheit halber können wir in dieser Darstellung von 42, für die wir 2(42) schreiben, alle Summanden, bei denen der Faktor 0 auftaucht, weglassen. Also bleibt:
.
Jetzt bläht Goodstein die Zahl 42 von der Basis 2 zur Basis 3 auf, indem er überall, wo die Zahl 2 auftaucht, diese durch 2 + 1 = 3 ersetzt. Er bekommt somit
22 876 792 455 045.
Ein solches Aufblähen hat es also in sich.
An dieser Stelle ist es von Nutzen, für das Aufblähen eine Bezeichnung einzuführen: Wir schreiben b(a), wenn wir die Zahl a zur Basis b darstellen, darin eingeschlossen auch alle vorkommenden Hochzahlen und wenn nötig auch die Hochzahlen dieser Hochzahlen, so dass nirgendwo in dieser Darstellung eine größere Zahl als b aufscheint. Ersetzt man nun alle in dieser Darstellung vorkommenden Zahlen b durch die um 1 größere Zahl b + 1, ist die Zahl a von der Basis b zur Basis b + 1 aufgebläht worden. Das Ergebnis, das Goodstein mit diesem Aufblähen erhält, nennen wir b + 1Ωb(a). Es sind 6Ω5(42) = 56, 8Ω7(42) = 48, 11Ω10(42) = 46 und 3Ω2(42) = 22 876 792 455 045.
Wie sich zeigt, wirkt sich das Aufblähen einer Zahl nur dann aus, wenn die Basis b höchstens so groß wie die Zahl a ist, die aufgebläht werden soll. So ist zum Beispiel 42 zur Basis 43 dargestellt nichts anderes als 42 selbst, und ein Ersetzen von 43 durch 44 ändert daran gar nichts. Also ist 44Ω43(42) = 42. Natürlich ist auch 100Ω99(42) = 42, allgemein gilt für jede Basis b, die größer als 42 ist, b + 1Ωb(42) = 42.
Wenn jedoch die Basis b viel kleiner als die Zahl a ist, explodiert b + 1Ωb(a) regelrecht.
Nun kommen wir zum Clou dessen, weshalb Goodstein diesen Begriff des Aufblähens einer Zahl erfand. Goodstein geht von irgendeiner Zahl a1 aus. Zuerst stellt er a1 zur Basis 2 dar, bildet also 2(a1) und bläht die Zahl von der Basis 2 zur Basis 3 auf, das heißt, er berechnet 3Ω2(a1). Von der so erhaltenen Zahl zieht er 1 ab, und nennt das Ergebnis a2. Es ist also a2 = 3Ω2(a1) − 1. Diese Zahl a2 stellt Goodstein zur Basis 3 dar und bläht die Zahl von der Basis 3 zur Basis 4 auf, er berechnet also 4Ω3(a2). Die nächste Zahl a3 seiner Folge bekommt er, wenn er von diesem Ergebnis 1 abzieht, das heißt: a3 = 4Ω3(a2) − 1. Jetzt stellt Goodstein a3 zur Basis 4 dar, bläht sie von der Basis 4 zur Basis 5 auf, bildet also 5Ω4(a3), und zieht, um die Zahl a4 zu erhalten, davon wieder 1 ab: a4 = 5Ω4(a3) − 1. In dieser Weise fährt er immer weiter fort. Die Folgeglieder seiner Folge sind somit: