a1 , a2 = 3Ω2(a1 ) − 1, a3 = 4Ω3(a2) − 1, a4 = 5Ω4(a3) − 1, a5 = 6Ω5(a4) − 1, …,
allgemein: an = n + 1Ωn(an – 1) − 1.
Sehen wir uns zum Beispiel die Goodstein-Folge von a1 = 3 an: Es ist 2(3) = 1 × 2 + 1, also 3Ω2(3) = 1 × 3 + 1 = 4, folglich a2 = 3Ω2(3) − 1 = 4 − 1 = 3. Nun ist 3(3) = 1 × 3, also 4Ω3(3) = 1 × 4 = 4 und a3 = 4Ω3(3) − 1 = 4 − 1 = 3. Als Nächstes lautet 4(3) = 3, hier ändert sich beim Aufblähen nichts: 5Ω4(3) = 3, und daher ist a4 = 3 − 1 = 2. Es bleibt auch 6Ω5(2) = 2, also ist a5 = 2 − 1 = 1, und es bleibt auch 7Ω6(1) = 1, also ist a6 = 1 − 1 = 0. Von da an bleibt die Goodstein-Folge konstant null.
Bei der Goodstein-Folge von a1 = 4 geht es bereits heftiger zu: Es ist 2(4) = 1 × 22, also 3Ω2(4) = 1 × 33 = 27, folglich a2 = 3Ω2(3) − 1 = 27 − 1 = 26. Nun ist 3(26) = 2 × 32 + 2 × 3 + 2, also 4Ω3(26) = 2 × 42 + 2 × 4 + 2 = 42, folglich a3 = 4Ω3(26) − 1 = 42 − 1 = 41. Als Nächstes lauten die Folgeglieder a4 = 60, a5 = 83, a6 = 109, a7 = 139. Scheinbar werden die Folgeglieder immer größer. Tatsächlich muss man ziemlich lange warten, bis diese Zunahme aufhört. Dann aber bleibt die Folge für lange Zeit konstant und nimmt schließlich – weil die Basis schon größer als das entsprechende Folgeglied geworden ist, Schritt für Schritt ab. Erst nach dem Folgeglied mit der Nummer 3 × 2402 653 211 (das ist eine Zahl mit mehr als 121 Millionen Stellen) wird endlich null erreicht.
Betrachtet man die Goodstein-Folge von einer Zahl a1 und wird bei dieser Folge nach dem Folgeglied mit der Nummer n die Null erreicht, gilt also an = 1 und an+1 = 0, dann bezeichnen wir diese Nummer n mit n = Θ(a1). Es sind zum Beispiel Θ(1) = 1, Θ(2) = 3, Θ(3) = 5 und Θ(4) = 3 × 2402 653 211.
Unglaublich rasant wächst die Goodstein-Folge zum Beispiel bei a1 = 19. (Die Zahl 19 eignet sich gut zum Verständnis des Prozesses, weil wir hier wenigstens die nächsten paar Folgeglieder als Potenztürme aufschreiben können.) Das zweite Folgeglied a2 errechnet sich wegen
a1 = 
so:
.
Das ist bereits eine ziemlich große Zahl, nämlich a2 = 7 625 597 484 990. Das dritte Folgeglied a3 ergibt sich aus
.
Dieses Folgeglied ist eine Zahl, die mit 13… beginnt und 155 Stellen besitzt. Das vierte Folgeglied a4 ergibt sich aus
.
Dieses Folgeglied ist eine Zahl, die mit 18… beginnt und 2185 Stellen besitzt. Das fünfte Folgeglied a5 ergibt sich aus
.
Dieses Folgeglied ist eine Zahl, die mit 26… beginnt und 36 306 Stellen besitzt. Schließlich ergibt sich das sechste Folgeglied a6 aus der Rechnung
.
Dieses Folgeglied ist ein Zahlenmonster, das mit 38… beginnt und 659 974 Stellen besitzt. Die mit a = 19 beginnende Goodstein-Folge scheint ins Unermessliche zu wachsen.
Doch Goodstein behauptet, dass auch diese Folge irgendwann einmal bei Null enden wird. Es ist völlig unklar, auch Goodstein hat nicht die leiseste Ahnung, wie lange man darauf warten muss. Er stellt lediglich fest, dass es irgendwann geschieht. Sicher ist eine schier riesige Anzahl von Folgegliedern zu durchlaufen, jenseits aller Vorstellungskraft, jenseits auch aller Möglichkeiten, dies abzuschätzen, aber irgendwann, bei irgendeinem riesigen n = Θ(19), wird an + 1 = 0.
Goodstein behauptet sogar, dass die von ihm konstruierte Folge der Zahlen
a1 , a2 = 3Ω2(a1) − 1, a3 = 4Ω3(a2) − 1, a4 = 5Ω4(a3) − 1,
a5 = 6Ω5(a4) − 1, …
stets bei Null enden muss, ganz egal, mit welcher Zahl a1 man beginnt. Das ist eine verblüffende, eine geradezu ungeheuerliche Aussage. Nicht einmal für a1 = 19 würde man es vermuten. Aber es stimmt, so teilt uns Goodstein mit, sogar für das Zahlenmonster a1 = 3 ↑ ↑ ↑ 3. Und dies trotz der Tatsache, dass es uns nie gelingen wird 2(3 ↑ ↑ ↑ 3) anzugeben, weil schon das nächste Folgeglied a2 = 3Ω2(3 ↑ ↑ ↑ 3) − 1 in unerreichbarer Ferne liegt.
Irgendwann, so versichert Goodstein, tritt der Fall ein, dass die verwendeten Basen, die ja mit jedem Folgeglied um 1 wachsen, die ins Gigantische explodierenden Folgeglieder einholen. Um dies jedoch begründen zu können, muss Goodstein das Unendliche, dem die berstenden Folgeglieder entgegenzustreben scheinen, als mathematisch sinnvollen Begriff fassen. Wir kommen darauf im letzten Kapitel zu sprechen. Ob sein mathematisches Modell des Unendlichen dem Wesen dieses Begriffs gerecht wird, ist allerdings eine offene Frage – und sie wird wahrscheinlich ewig offen bleiben.
Nimmt man das von Goodstein verwendete mathematische Modell des Unendlichen ernst, dann hat Goodstein tatsächlich recht. Es gibt nicht nur die Zahlen Θ(1), Θ(2), Θ(3) und Θ(4), es gibt auch Θ(19). Selbst Θ(3 ↑ ↑ ↑ 3) muss es geben – eine schwindelerregende Zahl.
11 Dies liegt daran, dass die Zahlen 10, 100, 1000, … bei der Division durch 3 immer den Rest 1 übrig lassen. Dividiert man eine Zahl wie zum Beispiel 4281 durch 3, bleibt bei der Division von 4000 durch 3 der Rest 4 × 1 = 4, bei der Division von 200 durch 3 der Rest 2 × 1 = 2, bei der Division von 80 durch 3 der Rest 8 × 1 = 8 und bei der Division von 1 durch 3 der Rest 1 × 1 = 1. Darum bleibt bei der Division von 4281 durch 3 der Rest 4 + 2 + 8 + 1 = 15, und diese Zahl ist durch 3 teilbar, lässt also als kleinstmöglichen Rest null.