Die Zahl 192, die wir aus der Rechnung (13 − 1) × (17 − 1) = 12 × 16 erhalten, ist genauso geheim wie der von Toby Esterhase aus dem Tresor entnommene Geheimkoeffizient 35. Wir nennen 192 den „Geheimmodul“.
Die Eierköpfe des Circus ermittelten mit dem Geheimmodul 192 für den Exponenten 11 den Geheimexponenten 35. Diese Zahl 35 ist nämlich deshalb der Geheimexponent, weil für sie 35 × 11 = 1 + 2 × 192 gilt. 184 hatte Smiley über den Eisernen Vorhang hinweg zum Circus gefunkt. Dies war der Rest, der bei a = 7 nach Division von a11 durch 221 verblieb. Allgemein nennen wir den Rest, der nach Division von a11 durch 221 verbleibt, die codierte oder verschlüsselte Zahl c. In unserem Beispiel ist c = 184. Und Toby Esterhase berechnet den Rest von c35 nach Division durch 221, also den Rest von (a11)35 nach Division durch 221. Damit entschlüsselt er nämlich die codierte Botschaft c zur ursprünglichen Nachricht a zurück. Warum?
Weil in (a11)35 die Zahl a insgesamt 35 × 11-mal mit sich multipliziert wird. Was wegen 35 × 11 = 1 + 2 × 192 bedeutet, dass die Zahl a insgesamt 2 × 192-mal und dann noch einmal mit sich multipliziert wird. Wenn man 192-mal a mit sich multipliziert, bleibt nach Division durch 221 der Rest 1. Wenn man das Gleiche 2 × 192-mal durchführt, bleibt auch der Rest 1, denn 1 × 1 = 1. Und wenn man diesen Rest 1 noch einmal mit a multipliziert, bleibt schlussendlich der Rest a × 1. Mit anderen Worten: Der Rest von c 35 nach Division durch den Modul 221 lautet a × 1, also a. Deshalb hat Toby Esterhase nach der Berechnung des Restes von 18435 den Wunsch George Smileys nach dem Agenten mit der Nummer 7 erkannt.
16 Tatsächlich hatte bereits drei Jahre zuvor der britische Mathematiker Clifford Christopher Cocks genau die gleiche Idee. Diese war aber in den USA völlig unbekannt, weil der britische Geheimdienst sie nicht nur vor der Sowjetunion, sondern auch vor den Vereinigten Staaten geheim hielt.
17 Dass man dies weiß, liegt am sogenannten Primzahlsatz, den bereits Gauß vermutet hatte: Die Anzahl der Primzahlen bis zu einer großen Zahl x beträgt ungefähr diese große Zahl x, dividiert durch ihren natürlichen Logarithmus. Dieser natürliche Logarithmus ist grob die Anzahl der Stellen von x multipliziert mit 2,3.
18 Es war entscheidend, dass Smiley den Zettel, den er aus seinem Schuh geholt hatte, nach dem Funken der verschlüsselten Nachricht verbrannte. Angenommen, er beginge die Todsünde, eine zweite Nachricht, zum Beispiel 0 0 3 0 0 3 0 0 3, mit der gleichen Folge wie zuvor zu verschlüsseln und zu senden. Verschlüsselt würde diese Nachricht, indem er die beiden Zeilen
1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 …
0 0 3 0 0 3 0 0 3
zur folgenden Zeile addiert:
1 4 4 5 9 5 6 5 6 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 …
und auf die Länge der Nachricht, also auf
1 4 4 5 9 5 6 5 6
zusammenstutzt. Smiley muss damit rechnen, dass Karla die beiden von ihm verschlüsselten Botschaften abfängt und Karlas Leute sie untereinanderschreiben:
1 4 8 5 9 9 6 5 0
1 4 4 5 9 5 6 5 6
Wenn sie die untere von der oberen modulo zehn subtrahieren, bekommen sie
0 0 4 0 0 4 0 0 4
also ein offensichtliches Muster. Muster sind der Angriffspunkt für erfolgreiche Attacken auf eine verschlüsselte Botschaft. Bei einer mehrfachen Verwendung des Zettels wäre daher die Verschlüsselung nicht mehr sicher. Deshalb darf er nur einmal verwendet werden, daher auch der Name „one time“ in OTP.
19 Gebilde, bei denen Ziffern endlos auftauchen, kennen schon Grundschulkinder, wenn sie dividieren lernen. Nur selten gehen Divisionen so schön wie bei 42 : 6 = 7 auf, meist bleibt bei ihnen ein Rest. Dividiert man zum Beispiel 42 durch 15, erhält man den Quotienten 2, denn zweimal ist 15 in 42 enthalten, aber es bleibt der Rest 12. Denn zweimal 15 ergibt nicht 42, sondern nur 30, und der Unterschied von 30 zu 42 beträgt eben dieser Rest. Man schreibt dafür
42 : 15 = 2 + 12 : 15.
Allein, die Division des Restes 12 durch 15 ist undurchführbar, weil 15 gar nicht in 12 enthalten ist. Adam Ries, der uns das Stellenwertsystem gelehrt hat, führte mit Hilfe der Zahl Null die Division dennoch weiter: Er fügte an den Rest 12 eine Null hinzu, multiplizierte also 12 mit 10, und konnte die sich so ergebende Division 120 : 15 restlos zu Ende bringen. In zwei Zeilen zusammengefasst:
Das Ergebnis notiert er als Dezimalzahl 2,8. Grundschulkinder lernen die beiden Zeilen so zu schreiben: Zuerst die Division 42 durch 15 als
sie notieren also den Rest 12 säuberlich unter den Dividenden 42. Dann hängen sie an diesen Rest 0 an, malen nach dem bisher erhaltenen Quotienten 2 ein Komma
und dividieren im nächsten Schritt 120 durch 15 mit dem Ergebnis 8, nach dem Komma notiert, und dem Rest 0, unter 120 angeschrieben:
Bei der Division von 42 durch 13 sieht der Anfang ganz ähnlich aus:
aber es ist noch immer ein Rest übrig geblieben. In diesem Fall schreibt uns Adam Ries vor, wieder Null an den Rest anzuhängen und weiterzumachen:
Wieder bleibt ein Rest. Also gilt es, mit der Prozedur immerzu fortzufahren:
Ein Ende des Verfahrens ist nicht absehbar. Allerdings taucht der erste Rest 3 wieder auf, also wiederholt sich die bisher angeschriebene Prozedur endlos. Als Ergebnis bekommt man eine „unendliche Dezimalzahl“
42 : 13 = 3,230769230769230769230769230769230769230769230769…,
bei der die Ziffernfolge 230769 die sogenannte Periode ist.
Es ist klar, dass es bei Divisionen immer zu periodischen unendlichen Dezimalzahlen kommt, wenn die Division nicht vorher abbricht. Denn irgendwann muss ein Rest, der schon vorher einmal erschienen ist, wieder auftauchen; es gibt ja nur endlich viele mögliche Reste, nämlich so viele, wie der Divisor, also die Zahl, durch die man dividiert, groß ist.
20 Für Kenner der Materie: Die Zahl 10 müsste eine sogenannte „Primitivwurzel“ des Divisors sein. Mit anderen Worten: Bezeichnet man den Divisor mit m und dividiert man der Reihe nach die Potenzen von 10 durch die Zahl m, dürfte erst bei der Division von 10m – 1 durch die Zahl m der Rest 1 auftauchen. 10 ist zum Beispiel Primitivwurzel der Divisoren 7 oder 113, aber keine Primitivwurzel des Divisors 3 (schon 10 : 3 lässt den Rest 1) oder des Divisors 13 (es ist 13 × 76 923 = 999 999, also lässt die Division 106 : 13 den Rest 1).