Die Zahl, die aus der Kalte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird

21 Es könnte sogar glücken, dass eine viel kleinere Zahl als Divisor diese ellenlange scheinbare Zufallsfolge hervorbringt – im besten Fall eine Zahl, die selbst „nur“ um die zweihundert Stellen besitzt. Das ist natürlich erheblich kleiner als die Zahl, die aus 10200 Neunern besteht und daher 10200 Stellen besitzt. Allerdings müsste 10 eine Primitivwurzel dieses rund zweihundertstelligen Divisors sein.

22 Die Schlitze können mit einem darunter befindlichen langen Lineal abgedeckt werden: Schiebt man das Lineal nach oben, zeigen sich unterhalb wieder fünf Schlitze, und auch hier finden sich Ziffern eingetragen. Dabei ist es so, dass die Summe der Ziffern des jeweils oberen und unteren Schlitzes immer neun beträgt. Liest man zum Beispiel oben die Zahl 31415 und verdeckt man diese Zahl mit dem Lineal, erscheint unten die Zahl 68 584. Wir nennen sie die „Gegenzahl“ zur Zahl 31 415.

23 Auf den Walzen, welche die Ziffern tragen, die man in den Schlitzen sehen kann, hatte Pascal die zehn Ziffern zwischen Null und Neun jeweils in einer oberen Zeile und in einer unteren Zeile eingetragen: In der oberen Zeile in der Reihenfolge 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 so, dass sie mit der Drehung des entsprechenden Rades im Uhrzeigersinn der Reihe nach wachsen, und in der unteren Zeile in der gegenläufigen Reihenfolge 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. Diese Ziffern der unteren Zeile sieht man nur dann, wenn man das bereits erwähnte Abdecklineal nach oben schiebt. Zeigte sich oben die Zahl 31 415, erblickt man unten die Zahl 68 584, die Gegenzahl von 31 415. Der Sinn dieser Vorrichtung besteht darin, nicht nur Additionen, sondern auch Subtraktionen mit der Pascaline durchzuführen. Eigentlich sollte die Subtraktion mit einem Drehen der Räder gegen den Uhrzeigersinn möglich sein, aber ein solches Drehen würde das Hebelwerk des Übertrags zerstören. Daher hemmt Pascal mit einer eigens eingerichteten Klinke das Drehen gegen den Uhrzeigersinn. Und er führt eine Subtraktion wie zum Beispiel 61 – 45 aufgrund des folgenden raffinierten Gedankens auf eine Addition zurück:

Die Gegenzahl von 61, nämlich 99 938, errechnet sich aus 99 999 − 61. Wenn man zu ihr 45 addiert, bekommt man

99 999 − 61 + 45 = 99 999 − (61 − 45).

Dies ist die Gegenzahl von jener Differenz 61 − 45, die wir suchen. Tatsächlich ergibt 99 938 + 45 die Zahl 99 983, und deren Gegenzahl ist 00016, wie es sein soll. Pascal geht daher bei der Berechnung von 61 − 45 folgendermaßen vor: Er stellt auf der Pascaline die Zahl 00061 auf den unteren Sehschlitzen ein. Auf den oberen Sehschlitzen würde deren Gegenzahl 99 938 aufscheinen, aber diese schaut er gar nicht an, sondern führt die scheinbare Addition von 45 bei geöffneten unteren Sehschlitzen durch und siehe da: Als Ergebnis taucht 00016 auf.

24 Die Schaltung, welche der logischen Aussage „nicht p“ entspricht, die man mit ¬p abkürzt, heißt ein NOT-Gatter. Die Schaltung, welche der logischen Aussage „weder p noch q“ entspricht, die man mit p↓q abkürzt, heißt ein NOR-Gatter; die Buchstabenkombination NOR steht für „not or“.

Ein NOR- und ein NOT-Gatter hintereinander geschaltet ergeben das OR-Gatter. Es entspricht der logischen Aussage „p oder q oder beide“, und diese wird mit p ∨ q abgekürzt. Nur wenn p = 0 und q = 0 sind, ist auch p ∨ q = 0. In allen anderen Fällen ist p ∨ q = 1, denn in diesen ist ja mindestens eine der Aussagen p oder q wahr – genau dies entspricht dem nichtausschließenden „oder“.

Zwei parallele NOT-Gatter und ein NOR-Gatter hintereinander geschaltet ergeben das AND-Gatter. Es entspricht der logischen Aussage „p und q“ und diese wird mit p ∧ q abgekürzt. Nur wenn p = 1 und q = 1 sind, ist auch p ∧ q = 1. In allen anderen Fällen ist p ∧ q = 0, denn in diesen ist ja mindestens eine der Aussagen p oder q falsch, und genau dann ist „p und q“ falsch.

25 Wir denken uns drei Eingangsdrähte, mit p, q und r abgekürzt, parallel an sieben AND-Gatter angeschlossen.

Vor den linken drei der sieben AND-Gatter werden jedoch abwechselnd vor je zwei der drei Eingänge in das jeweilige AND-Gatter NOT-Gatter gesetzt. Und vor den rechten drei der sieben AND-Gatter werden abwechselnd vor je einem der drei Eingänge in das jeweilige AND-Gatter NOT-Gatter gesetzt. Nur beim mittleren der sieben AND-Gatter laufen die Eingangsdrähte p, q, r direkt hinein. Der Ausgangsdraht des mittleren AND-Gatters verzweigt sich in zwei Drähte, die jeweils in ein OR-Gatter führen. In das linke dieser beiden OR-Gatter führen auch die Ausgangsdrähte der drei linken AND-Gatter, und in das rechte dieser beiden OR-Gatter führen auch die Ausgangsdrähte der drei rechten AND-Gatter. Den Ausgang des linken OR-Gatters symbolisieren wir mit s, und den Ausgang des rechten OR-Gatters symbolisieren wir mit t. Diese Schaltung nennt man einen Volladdierer. Denn welche Werte 0 oder 1 die Eingangsdrähte p, q, r auch besitzen, immer werden die Werte von s und t so sein, dass s + 2t, im Sinne des Binärsystems von Leibniz: s + 10t, mit der Summe p + q + r übereinstimmt: s symbolisiert die Einerstelle dieser Summe und t steht für den Übertrag auf die Zweierstelle, die ja im Binärsystem von Leibniz die 10-er-Stelle ist.

26 Die weiteren Ausführungen Hilberts bis zu seinen programmatischen Abschlusssätzen lauteten:

„In der Tat: Wir beherrschen nicht eher eine naturwissenschaftliche Theorie, als bis wir ihren mathematischen Kern herausgeschält und völlig enthüllt haben. Ohne Mathematik ist die heutige Astronomie und Physik unmöglich. Diese Wissenschaften lösen sich in ihren theoretischen Teilen geradezu in Mathematik auf. Diese wie die zahlreichen weiteren Anwendungen sind es, denen die Mathematik ihr Ansehen verdankt, soweit sie solches im weiteren Publikum genießt.

Trotzdem haben es alle Mathematiker abgelehnt, die Anwendungen als Wertmesser für die Mathematik gelten zu lassen.

Gauß spricht von dem zauberischen Reiz, den die Zahlentheorie zur Lieblingswissenschaft der ersten Mathematiker gemacht habe, ihres unerschöpflichen Reichtums nicht zu gedenken, woran sie alle anderen Teile der Mathematik so weit übertrifft.

Kronecker vergleicht die Zahlentheoretiker mit den Lotophagen, die, wenn sie einmal von dieser Kost etwas zu sich genommen haben, nie mehr davon lassen können.

Der große Mathematiker Poincaré wendet sich einmal in auffallender Schärfe gegen Tolstoi, der erklärt hatte, dass die Forderung ,die Wissenschaft der Wissenschaft wegen‘ töricht sei. Die Errungenschaften der Industrie, zum Beispiel, hätten nie das Licht der Welt erblickt, wenn die Praktiker allein existiert hätten und wenn diese Errungenschaften nicht von uninteressierten Toren gefördert worden wären.