Опустив одну из пространственных координат, y, допустимые мировые линии во вселенной «Дихронавтов» можно изобразить на трехмерном рисунке (см. ниже). В данном случае мировые линии не заключены внутри конуса с осью t, а находятся вне конуса с осью x. (Эта картина была бы полной, если бы речь шла о вселенной с единственной размерностью пространства, однако нам следует помнить о том, что в действительности у пространства есть и второе, не показанное на рисунке, измерение y. В четырех измерениях между разрешенными и запрещенными областями мировых линий имеет место идеальная симметрия.)
Так или иначе, приведенная выше диаграмма ясно показывает нам, что если мировые линии тел, движущихся вдоль оси x, по-прежнему не могут быть наклонены к оси t под углом больше 45⁰, то в случае тел, движущихся вдоль оси u, этот угол ничем не ограничен. Другими словами, в направлении оси u предела скоростей не существует! То же самое будет верно и для любого другого направления, расположенного ближе к u, чем к x.
Таким образом, понятие истории объекта как линейной последовательности событий – иначе говоря, его мировой линии – имеет смысл и во вселенной с двумя измерениями времени. Главное отличие касается тел, движущихся с большими скоростями, – знакомый нам верхний предел скоростей теперь действует далеко не во всех направлениях, что, в свою очередь, расширяет множество разрешенных мировых линий.
Геометрия и повороты в пространстве «Дихронавтов»
Хотя разнообразие мировых линий играет важную роль для тел, движущихся со сверхвысокими скоростями, скорость большинства предметов, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, составляет лишь крошечную долю скорости света. По сути это означает, что все подобные объекты, как и мы сами, обладают практически параллельными мировыми линиями. Мы можем принять направление вдоль нашей собственной мировой линии за пространственно-временную ось времени, и другие люди – мировые линии которых почти параллельны нашей собственной – будут в общем и целом согласны с таким выбором.
После того, как одно из направлений выбрано в качестве оси времени, все перпендикулярные ему прямые будут восприниматься как направления в пространстве. В нашей Вселенной мы получаем три пространственных измерения с абсолютно одинаковым поведением – между x, y и z нет никаких фундаментальных отличий.
Если же мы зафиксируем переменную t в качестве оси времени во вселенной «Дихронавтов», то в итоге получим набор из трех «пространственных измерений» x, y, u, между которыми существует принципиальное разница, ведь u, в отличие от x и y, представляет собой направление, вдоль которого может двигаться потенциальная мировая линия. А значит, несмотря на то, что пространство «Дихронавтов» также включает в себя три измерения, ожидать, что его геометрия будет совпадать с привычной нам геометрией евклидова пространства, нельзя.
Правило, которому мы следовали выше, переходя от формулы, описывающей разрешенные мировые линии в нашей Вселенной, к аналогичной формуле для мира «Дихронавтов», заключалось в замене z2 на u2. В евклидовом пространстве x2+y2+z2 есть не что иное, как квадрат расстояния между началом координат и точкой (x,y,z). Это дает нам основание предположить, что в трехмерном пространстве с двумя «пространственноподобными» измерениями x, y и одним «времениподобным» измерением u величина x2 + y2 — u2 будет каким-то образом описывать расстояние между началом координат и точкой (x, y, u).
Если величина x2 + y2 — u2 положительна, мы можем трактовать ее как квадрат расстояния от начала координат. Но как быть, если она отрицательна? В этом случае нам придется использовать в качестве расстояния квадратный корень противоположной величины, u2 — x2 — y2.