Это может показаться странным, но вывод, сделанный в предыдущем абзаце, по сути говорит нам о том, что в данной геометрии существует два принципиально разных вида «расстояний» – те, для которых x2 + y2 — u2 положительно, и те, для которых эта величина отрицательна. Впрочем, особого сюрприза в этом нет, поскольку именно расстояния второго рода наблюдаются при движении вдоль потенциальной мировой линии. Хотя наш выбор координат закрепляет направление мировой линии за переменной t, а большая часть окружающих людей и предметов, согласно нашему допущению, характеризуются мировыми линиями, сориентированными примерно в одном и том же направлении, сам факт, что некоторые из «пространственных» направлений – перпендикулярных оси t – могут выступать в качестве направлений мировых линий, в то время как другие – нет, уже оказывается достаточным для того, чтобы свойства векторов, относящихся к этим двум видам, качественно отличались друг от друга.
Собственно говоря, есть и третий случай – направления, для которых x2 + y2 — u2 в точности равно нулю. В евклидовом пространстве x2 + y2 + z2 обращается в нуль только при условии, что нулю равны и x, и y, и z – то есть лишь в начале координат (0, 0, 0). Выражение x2 + y2 — u2, с другой стороны, обращается в нуль на поверхности целого конуса.
На рисунке ниже изображены все три типа поверхностей, точки которых равноудалены от начала координат. Красная, похожая на песочные часы, поверхность, соответствует положительным значениям 
. Две зеленых, чашеобразных поверхности описывают случай x2 + y2 — u2 < 0. А пара расположенных между ними синих конусов служат решением уравнения x2 + y2 — u2 = 0. (Поскольку все три поверхности полупрозрачны, конусы выглядят синими только в тех местах, где на них не накладываются другие поверхности.)
В математике красную поверхность принято называть однополостным гиперболоидом, а пару зеленых поверхностей – соответственно двуполостным гиперболоидом.
Описав новый способ измерения расстояний в нашей геометрии, можно задаться вопросом: что именно, с практической точки зрения, означает утверждение о равноудаленности точек каждой из этих поверхностей от начала координат. Говоря о вращении какого-либо предмета – раскручивании шара, взмахе палкой и вообще о повороте произвольного твердого тела – мы имеем в виду, что почти все точки затронутого предмета меняют свое положение, при том, что расстояния между этими точками остаются неизменными. Другими словами, объект при движении сохраняет жесткость – не сжимается и не растягивается.
Если мы взмахнем палкой, которая зафиксирована с одной стороны, то ее свободный конец всегда будет лежат на поверхности, равноудаленной от неподвижной точки – и в случае геометрии Евклида имеющей форму сферы. Таким образом, новые поверхности показывают нам, где мог бы оказаться свободный конец палки, если бы мы попытались проделать то же самое в геометрии «Дихронавтов».
Когда мы делаем взмах в пространстве «Дихронавтов», длина палки (по определению) остается постоянной, однако ее протяженность в конкретном направлении может расти без каких-либо ограничений! Например, если палка изначально имеет длину 5 и расположена вдоль оси u, мы можем повернуть ее так, чтобы свободный конец оказался в точке x=12, y=0, u=13, поскольку и в том, и в другом случае x2 + y2 — u2 = -25. Если палка изначально имеет длину 5 и параллельна оси x, то мы аналогичным образом можем привести ее свободный конец в положение x=0, y=13, u=12, поскольку x2 + y2 — u2 в обоих случаях равно 25. Но несмотря на то, что отдельные координаты могут принимать сколь угодно большие значения, связывающее их соотношение не позволяет повернуть первую палку так, чтобы ее положение совпало с одним из возможных положений второй, и наоборот.
При повороте тела в двух измерениях его поведение будет зависеть от того, являются ли оба измерения «пространственноподобными», как, например, x и y, или же парой «пространственноподобного» и «времениподобного» – как x и u. В первом случае результат будет выглядеть точно так же, как поворот в евклидовом прстранстве. Во втором – линии, равноудаленные от центра вращения будут иметь форму не окружностей, а гипербол, и протяженность тела вдоль одной из одной из осей может меняться в бесконечных пределах.