Скользящий стержень
Теперь мы рассмотрим видоизмененную версию предыдущего примера и вместо фиксации основания стержня позволим ему свободно двигаться по земле в горизонтальной плоскости, не испытывая трения. Кроме того, мы будем считать, что стержень на протяжении всего падения остается прямым и сохраняет целостность, а его нижний конец не может проткнуть землю; при этом мы позволяем основанию стержня скользить по ее идеализированной, бесконечно прочной и абсолютно гладкой поверхности.
После того, как стержень потеряет равновесие, его центр масс будет двигаться только в вертикальном направлении. Более того, вокруг центра возникает расширяющаяся по ходу падения область, точки которой будут двигаться в направлениях с преобладающей вертикальной компонентой, т. е. с пространственноподобными скоростями. Эта часть стержня будет вносить положительный вклад в его кинетическую энергию и продолжит расти до тех пор, пока при некотором критическом угле наклона в точности не уравновесится отрицательной кинетической энергией остального стержня.
По мере приближения к критическому углу кинетическая энергия стержня будет все слабее зависеть от его угловой скорости, которая, в свою очередь, будет неограниченно возрастать, чтобы обеспечить постоянное значение полной энергии. Таким образом, стержень станет ускоряться, а соответствующая сила реакции опоры – безгранично расти, как и его скорость.
На рисунке ниже показаны последовательные положения стержня через равные интервалы времени, последнее из которых соответствует критическому углу, при котором действующие силы стремятся к бесконечности. Изображенные вектора сил соответствуют предшествующему положению стержня, для которого эти силы все еще выражаются конечными величинами.
Разрущающийся стержень
Теперь мы заменим наш идеальный, бесконечно прочный стержень высокой и тонкой прямоугольной призмой, которую представим в виде набора сегментов, отрывающихся друг от друга при достаточно большой деформации сдвига.
Как и ранее, мы можем воспользоваться законом сохранения энергии, чтобы вычислить скорость падения, при которой призма сохраняет свою целостность, что, в свою очередь, позволит нам рассчитать ускорение центра масс каждого из воображаемых сегментов, а также величину силы, которую пришлось бы добавить к собственному весу сегмента, чтобы придать ему нужное движение.
Источником воздействий на каждый сегмент служат равные, противоположно направленные силы, действующие между парами смежных сегментов (в случае нижнего сегмента одна из сил будет исходить от земли). Этот факт позволяет нам составить систему линейных уравнений, решая которые, мы узнаем величины межсегментных сил, а по ним – как нормальные силы, направленные по перпендикуляру к границам раздела, так и силы сдвиговой деформации, действующие вдоль границ.
Рисунок ниже иллюстрирует воздействие сдвиговых напряжений на падающую призму. При данной величине угла они достигают максимума на расстоянии около 2/5 длины призмы, считая от ее основания, и неограниченно возрастают по мере увеличения угла. Таким образом, материал призмы рано или поздно поддастся деформации, и она распадется как минимум на два фрагмента.
Процесс разрушения будет довольно сложным, однако после разделения стержня более короткие фрагменты начнут падать точно так же, как первоначальная призма, и в итоге тоже будут разорваны на части деформацией сдвига. Это будет продолжаться до тех пор, пока длина отдельных фрагментов уже не будет превышать их ширину, после чего они займут устойчивое положение на поверхности земли. Однако по мере уменьшения фрагментов точка максимальной деформации будет смещаться вниз, и рано или поздно окажется у самого основания призмы. После этого опора начнет слущивать с ее нижней части тонкие слои вещества, пока остаток призмы не окажется достаточно коротким, чтобы процесс сошел на нет.