Поэтому Кантор начал задавать себе «поэтические» вопросы и искать на них математические ответы. Один из ключевых вопросов: "БЕСКОНЕЧНО МНОГО – это всегда ОДИНАКОВО БЕСКОНЕЧНО МНОГО? Или могут быть большие и меньшие бесконечности?"
Чего больше, звезд на небе или точек на прямой?…
Кантор доказал великую теорему, из которой следует, что бесконечности могут быть разные по величине. Поскольку «число» и «количество» – слова в этом случае неуместные, то он ввел термин «мощность». Мощность – это то что остается, когда нас не интересует сущность элементов множества и порядок, в котором они располагаются. То есть, он определил понятие мощности строго, хотя определение и кажется на первый взгляд странным. На второй взгляд этого, обычно, так уже не кажется. От множества студентов останется только мощность, если мы перестанем их различать и будем воспринимать их вне всякого порядка (в естественных условиях).
Увы, приводить примеры множеств, имеющих бесконечную мощность, используя березки и студентов, не получится вообще, а звезды далеки и видны только ночью. Поэтому обратимся для наглядности к находящимся рядом с нами числам.
Пересчитывая что-то мы используем целые (положительные) числа 1, 2, 3… Их еще называют «натуральными». Странные американцы любят начинать этот ряд с нуля (и заразили этим, например, всю вычислительную технику). Их не смущает, что «3-блок» на самом деле 4-ый по счету… Впрочем, нам сейчас все равно! При добавлении или удалении нуля ничего не меняется.
Главное, мы знаем, что чисел нам хватит для пересчета чего угодно. Мы также знаем, что это множество бесконечное. Кантор назвал это множество СЧЕТНЫМ и его мощность – мощностью счетного множества.
Мощность этого множества Кантор взял за эталон и стал сравнивать ее с мощностями других множеств.
Во-первых, он установил, что эта мощность больше мощности любого конечного множества (студентов, березок и т.п.).
Во-вторых, и это любопытно, он доказал, что многие бесконечные множества имеют ту же мощность (то же «количество» элементов), что и счетное. Один из самых поразительных примеров – это то, что множество целых положительных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество целых четных положительных чисел! То есть они равномощны!
Действительно, запишем друг под другом:
1 2 3 4…
2 4 6 8…
Ясно, что обе последовательности имеют одинаковое количество элементов, поскольку любому числу первой, ВСЕГДА соответствует строго одно число второй последовательности. Так что вторая последовательность не может исчерпаться раньше первой. И наоборот!
Следовательно, эти множества равномощны!
Следовательно, здесь ЧАСТЬ РАВНА ЦЕЛОМУ!!!
Поскольку это доказано строго, то на последний спасительный аргумент – «так в жизни не бывает», можно еще раз, но уже более сурово ответить: «Вы просто жизни не видели! Точнее, вы никогда не видели в жизни бесконечность! И не увидите!». За свою непростую долгую жизнь человек может столкнуться даже с паровозом, а с бесконечностью – никогда! Даже в темноте.
Поэтому, что может быть и чего не может быть в мире бесконечностей не нам судить, основываясь лишь на житейском опыте!
Из бесконечного множества звезд (мощность которого тоже счетна) мы видим лишь их ограниченное конечное множество. На нарисованном отрезке прямой, содержащем бесконечное множество точек, мы видим конечное множество зерен грифеля, которым отрезок нарисован. Кстати, мы видим все это и многое другое сетчаткой глаза, содержащей конечное число палочек-колбочек. Конечным числом палочек-колбочек своего глаза никогда ничего бесконечного вы не увидите!…
Так что бесконечности вокруг нас существуют в «параллельном мире» по своим законам, которые теория множеств помогает изучать.
Мы уже сказали «во-вторых», но есть еще и «в-третьих» – и это в-третьих" – самое главное: великая теорема Кантора, которая уже упоминалась.
Дело в том, что если построить множество всех подмножеств конкретного множества, то всегда получите множество БОЛЬШЕ исходного.
Например, возьмем множество из 2-х элементов: РАЗ, ДВА (и обчелся). Подмножествами этого множества будут 4 множества(!):
1) РАЗ, ДВА – (любое множество подмножество самого себя)
2) РАЗ
3) ДВА
4) пустое – (т.е. «обчелся»).
Другой пример: А И Б (сидели на трубе)
Подмножествами этого множества из трех элементов будет 8 множеств:
1) А, И, Б
2) А, И
3) А, Б
4) И, Б
5) А
6) И
7) Б
8) пустое
Из четырех элементов получилось бы 16 элементов. И этот ряд можно бесконечно продолжить, как ряд степеней числа 2.
Так вот, Кантор и доказал, что если взять бесконечное множества счетной мощности, например, множество целых положительных чисел и построить (разумеется, умозрительно) множество, содержащее в качестве элементов все подмножества этого множества, то получим мощность БОЛЬШУЮ, чем счетная мощность. В принципе не существует способа пересчитать (пусть в бесконечности) такое множество. В нем всегда больше элементов. Эта новая большая мощность называется мощностью КОНТИНУУМА.
И снова житейский парадокс. Мощность континуума имеет, например, множество точек прямой или множество действительных чисел, что то же самое. Более того, любой отрезок числовой оси, даже такой малюсенький отрезок, как отрезок от 0 до 1, имеет мощность континуума, то есть на нем больше чисел, чем найдется чисел в счетном множестве. А раз этот отрезок имеет мощность континуума, как и вся (бесконечная) прямая и, естественно, любой ее отрезок, то можно сказать, что на отрезке от 0 до 1 ровно столько же точек, сколько на отрезке прямой от Земли до Юпитера.
Здесь тоже часть равна целому, если и часть, и целое имеют мощность континуума. И все они одинаково больше числа звезд на небе или числа всевозможных алгоритмов…
Для бесконечностей существует очень простая арифметика, которая логически следует из предыдущих разговоров. Сложение двух счетных мощностей дает счетную мощность, а для континуумов – мощность континуума. При вычитании из мощности континуума счетной – в остатке мощность континуума. Но вот если вычитать из континуума континуум или из счетной мощности счетную – всякое может получиться в каждом конкретном случае. Тут запросто можно напрячься и придумать свои иллюстрации.
Однако, не все так просто. Бесконечность остается одной из ключевых категорий философии. И математика здесь подливает масла в огонь, показывая все новые грани этой проблемы. Тем более, если говорить не только о бесконечных, но и о бесконечных упорядоченных множествах. Впрочем, желающие могут почитать книжки об очень красивых вещах с немение красивыми романтическими названиями: «кардиналы и ординалы».
Лекция 3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Говорят операции НАД множествами не потому, что они расположены «над» множествами, а просто так принято. Если НАД вашими волосами колдует парикмахер, это не значит, что результат его манипуляций окажется выше вашей прически. (Но берегитесь хирурга, который проводит операции над больными).
Основных операций всего три. Это меньше, чем в школьной арифметике. Хотя даже это множество операций несколько избыточное. Операции называются ОБ'ЕДИНЕНИЕ, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ и ДОПОЛНЕНИЕ. Чем-то они напоминают школьные операции сложения, умножения и изменения знака. Но эта аналогия приблизительна и опасна, на то она и аналогия.