До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

— Постоянная е: Эйлер впервые обозначил символом "е" основание натуральных логарифмов еще в письме Гольдбаху 1731 года, говоря о пределе

lim_n→∞(1 + 1/n)ⁿ

и о сумме бесконечного ряда:

e = 1 + 1/1 + 1/(1·2) + 1/(1·2·3) + 1/(1·2·3·4 + ...)

Тем не менее только в уже упомянутом "Введении..." Эйлер углубил и развил свои идеи относительно е и даже вычислил первые 26 цифр:

е = 2,71828182845904523536028747...

Почему Эйлер выбрал именно букву е, неизвестно. Существует мнение, что выбор пал на нее, поскольку это первая буква его собственного имени или слова "экспонента", но это всего лишь догадка.

— i: на протяжении большей части своей жизни Эйлер, не обладая строгим и правильным определением предела, записывал как

ex = (1 + x/i)ⁱ,

то, что сегодня мы бы записали как

e^x = lim_n→∞(1 + x/n)^n.

В этом примере буква i символизирует бесконечное число. Но в 1777 году ученый передумал и стал использовать ее для обозначения мнимой единицы (комплексного числа). Статья 1777 года была опубликована только в 1794 году, но Гаусс, а с ним и все математическое сообщество, сразу же начали использовать i. Эта буква была выбрана как первая в немецком слове "мнимый".

— у = ƒ(x): Эйлер стал первым ученым, использовавшим современное понятие функции, связав заданное значение х с получившимся значением у посредством соотношения, названного ƒ. Область определения и значений ƒ были четко обозначены. Функция появляется уже в 1734-1735 годах в Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae — первом журнале Петербургской академии наук. И хотя современное понятие функции немного отличается от того, которое имел в виду Эйлер, нельзя не признать, что он сделал огромный шаг вперед в том, что касается ясности определений и описания.

— Σ (сигма): Эйлер выбрал эту букву для обозначения суммы последовательности чисел, подчиняющейся какому-либо правилу, которое записывается над или под символом. В общем случае сумма элементов х, где i — "счетчик" слагаемых, идущих от m до n, записывается так:

Σ_i=mⁿx_i = x_m + x_m+1 + x_m+2 + ... + x_n-1 + x_n.

Сигма — греческий аналог буквы "с", с которой начинается слово "сумма", поэтому ее использование кажется вполне логичным. В течение жизни Эйлер вычислил сотни таких последовательностей, многие из которых были бесконечными. При n = ∞ последовательность называется рядом. Возможно, самая знаменитая в своей простоте последовательность Эйлера — это последовательность из Базельской задачи, которую он вычислил в 1735 году, на пике своего математического творчества (мы поговорим о ней подробней в следующей главе):

Σ_n=1^∞1/n²  = π²/6.

Никто не ожидал, что в сумме этой последовательности будет задействовано число π, и его появление внесло настоящую неразбериху в умы ученых.

— Заглавные и строчные буквы: в любом треугольнике стороны обозначаются строчными буквами, а соответствующие углы — теми же буквами, но заглавными (рисунок 1).

РИС. 1

РИС . 2

РИС 3

Аналогичным образом буквами R и г обозначаются соответственно радиусы описанной (рисунок 2) и вписанной окружностей (рисунок 3).

— Использование первых букв алфавита (обычно строчных) — а, b, с, d — для обозначения известных величин в уравнениях, и последних — х, у, z, v — для неизвестных величин.

— Сокращенные латинские формы sin, cos, tang, cot, sec и cosec Эйлер впервые использовал в 1748 году в своей книге "Введение в анализ бесконечно малых" для обозначения тригонометрических функций. Затем они были адаптированы к разным языкам, хотя сейчас фактически универсальным является их английский вариант: sin х, cos х, tan х (в русской традиции tg x), cot х (или ctg х), sec х и cosec х.

— Обозначение для конечных разностей: это вычислительный инструмент, немного похожий на производные. Он не использует понятие предела и так называемые бесконечно малые. Конечные разности встречаются уже у Ньютона (1642-1727), Джеймса Грегори (1638-1675) и Колина Маклорена (1698-1746) и позволяют вычислять неизвестные многочлены на основе их значений, а также интерполировать и изучать последовательности и ряды. Изобретение компьютеров сделало их еще полезнее. Эйлер посвятил много сил изучению конечных разностей. Их обозначения, которые сегодня встречаются в книгах, принадлежат ему. В самом простом случае для последовательности {u_i} разность двух соседних членов будет обозначаться ∆:

∆u_k = u_k+1 - u_k.

Последующие конечные разности (второго порядка ∆², третьего порядка ∆³, четвертого порядка ∆⁴ и так далее) определяются, исходя из разностей первого порядка с помощью рекурсии, то есть каждая использует предыдущую:

∆^pu_k = ∆(∆^p-1u_k).

Таким образом строго определяются конечные разности любого порядка — ∆, ∆², ∆³,... — и с ними можно работать.

ПЕРВОЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ОТКРЫТИЕ: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ

В серии работ, начатых еще в Базеле, Эйлер открыл формулу комплексных чисел, впоследствии ставшую знаменитой. Он использовал ее для нахождения значения математической категории, до той поры неизвестной, — отрицательных логарифмов. Как мы уже сказали, для обозначения мнимой единицы, √-1, Эйлер использовал символ i.

С этого момента подразумевается, что если в арифметической формуле есть i, то

i= √-1.

Во время работы в Базеле Эйлер открыл формулу

e^xi = cos x + isin x

и преобразовал ее так, как только он, великий жонглер символами, был способен. Из этого простого выражения, известного как формула Эйлера, которое связывает комплексные числа с тригонометрией, в последующие столетия произошла, как мы увидим в главе 3, большая часть математического анализа.

Во времена Эйлера пользовались большой популярностью логарифмы — инструмент вычисления, открытый в XVI веке. Однако их потенциал оставался невостребованным вплоть

до появления работ швейцарского ученого. Представим их определение: если а положительное число, называемое основанием, N также положительное число и верно равенство

N = α^x,

то говорится, что х — логарифм N и пишется х = log₂N. Или:

N = α^logN.

Если основание логарифма — число е, то пишется In N вместо log N.

Господа: это абсолютно верно и совершенно парадоксально, мы не можем понять этого и не знаем, что это означает, но мы это доказали и, следовательно, знаем: это правда.

Бенджамин Пирс (1809-1880), профессор Гарварда о так называемой

ФОРМУЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ЭЙЛЕРА

Число -1 можно записать как -1 =1 + 0i и, следовательно, рассматривать его в качестве комплексного числа. Подставим его в формулу Эйлера:

-1 = 1 + 0i = cosπ + isinπ = e^xi.

Теперь рассмотрим только начало и конец этого равенства и используем натуральный логарифм:

In(-1) = In(e^xi) = πi.

Таким образом, Эйлер получил точное значение натурального логарифма от -1, отрицательного числа. На этом ученый приостановил интеллектуальную атаку на данную область и уехал в Санкт-Петербург. Только в 1751 году, почти 25 лет спустя, Эйлер обнародовал этот результат в надлежащем виде вместе со многими другими в фундаментальном труде "Введение в анализ бесконечно малых".