В главе «Неожиданные подсчеты» что ни задача, то парадокс.
…В книжном шкафу стояли три увесистых тома какого-то сочинения. Хозяин, когда осенью вернулся с дачи, обнаружил, что тома проедены книжным червем - от первой страницы первого тома до последней страницы третьего. Сколько всего страниц прогрыз червь, если в первом томе их было 400, во втором 440 и в третьем 470? Что же хитрого в этой задаче, скажете вы: надо все числа сложить, и ответ готов. А так ли? Оказывается, не так! Надо сначала подумать вот о чем: как стояли тома на полке. А что если они стояли так: первая страница первого тома примыкала к 440-й странице второго, а последняя страница третьего тома соседствовала с первой страницей второго тома? И тогда окажется, что червь прогрыз всего лишь 440 страниц тома, стоявшего в середине да еще четыре крышки переплетов - не более того!
(У задач подобного рода есть еще глубокий философский подтекст: число, математическая величина тогда приобретают смысл и значение, если за ними стоит какая-то реальность.)
Еще одна задача-западня. Какой высоты получится столб, если поставить один на другой все миллиметровые кубики, заключенные в одном кубическом метре?
(Подсчитайте, и вы подивитесь результату: 1000 километров!)
Или вот задача о «французском» замке (который вовсе не французский, а американский, потому что изобрел его американец Иэль) позволяет перебросить мостик от элементарной арифметики к теории вероятностей. Она поясняет, сколько вариантов замка можно получить, меняя форму всего лишь пяти «цугаликов» (внутренних стерженьков). Оказывается, можно изготовить 100 тысяч модификаций замка - отсюда практически малая вероятность повторяемости ключей. В обычных же замках, говорит Перельман, на каждую дюжину приходится один-два одинаковых.
А вот над этой чисто логической задачей надо изрядно поломать голову. На стене - мужской портрет. Перед ним стоит мужчина. Сообразите: кто кому и кем доводится, если отец мужчины, чей портрет висит на стене, - родной сын мужчины, стоящего у портрета?..
В русском алфавите - если считать букву «ё» как «е» - 31 буква. Сколько слов можно из них составить при условии, что число букв в каждом слове не должно превышать 20? Ответ ошеломляет - 3120 слов! Их хватит, чтобы написать книг, для которых понадобится полка длиной от одного до другого края нашей Галактики. И тут же характерная для Перельмана «деталь»: он сообщает, что словарный запас Шекспира - как известно, один из наиболее богатых - насчитывает всего лишь 15 тысяч слов.
Или взять главу «Затруднительные положения». В ней они действительно затруднительные, если люди, которые в них попали, не в ладах с элементарной математикой.
К примеру, вот такой юридический казус из времен Древнего Рима. Женщина, муж которой погиб, ожидает ребенка. По закону полагалось: если родится мальчик, то оставшееся после мужа наследство 3 500 сестерций следует разделить поровну между матерью и сыном. Если же родится девочка, мать должна получить две трети. Но судьбе было угодно, чтобы родилась двойня - мальчик и девочка. Как в таком случае поделить наследство?
Завершает эту удивительную книгу глава, в которой собраны математические примеры из страны сказок - народных и литературных.
На каждом шагу математика
В 1931 году увидела свет еще одна книга этой серии - «Математика на каждом шагу». Ленинградский областной отдел народного образования рекомендовал использовать ее в школах как учебное пособие. И это не случайно: книга действительно выглядит как учебное пособие, причем очень полезное.
В этой книге Перельман в живой, ненавязчивой форме ведет с читателем беседу о числе и счете, об их роли в многогранной человеческой деятельности. Смысл беседы в том, чтобы убедить читателя, прежде всего юного, что математика - предмет весьма и весьма практичный, что учить его надо не потому, что это нужно учителям, школе, а потому, что без него просто невозможно жить и трудиться.
Глава «Сколько весят материалы?» - это, по сути, справочник, куда включены самые обиходные сведения. Например: как взвесить стальную балку или бак с водой, не ставя их на весы? С помощью несложных расчетов, отвечает Перельман и тут же производит их. Скажем, вам надо знать, сколько весит лист кровельного Железа на крыше вашего дома и сколько весит вся кровля? С чего вы начинаете? С определения объема листа: 140 · 70 · 0,05, или 490 кубических сантиметров. Теперь заглядываете в табличку удельных весов, находите там Удельный вес железа - 7,8 грамма. 490 · 7,8 = 3620 граммов. На крышу среднего по размерам дома надо от 500 до 600 листов, следовательно, стропила выдерживают нагрузку более двух тонн.
Вы купили килограммовый моток медной проволоки диаметром 0,25 миллиметра. Можно узнать по этим данным длину проволоки? Можно, конечно. Надо опять узнать удельный вес металла - по таблице. Разделив вес мотка на удельный вес, вы получите объем. Чего? Перельман предлагает вам вообразить, что весь моток идеально размотан, а проволока поставлена стоймя - теперь перед вами не проволока, а какой-то высоты цилиндр. Диаметр этого цилиндра вам был известен заранее, объем вы только что рассчитали. Теперь остается вычислить его высоту, то есть длину проволоки. Получится около трех километров.
Очень полезна также глава «Как рассчитывать давление».
«Вещь может обладать значительным весом», - пишет Перельман, - и все же оказывать на свою опору весьма ничтожное давление. И наоборот, иная вещь, при малом весе, производит на опору большое давление. Почему так происходит?».
Отвечает на этот вопрос автор наглядным примером. В двух кадках квашеная капуста покрыта деревянными кругами, на которые кладут гнет. Обычно это камни. Круг в первой кадке имеет в поперечнике 24 сантиметра и нагружен 10-килограммовым камнем. Круг во второй кадке имеет в диаметре 32 сантиметра и» прижат грузом в 16 килограммов. В какой кадке капуста находится под большим давлением и почему? «Здравый смысл» подсказывает: во второй, конечно, потому что там груз тяжелее. Но расчеты неумолимо опровергают «здравый смысл»; капуста сильнее сдавливается в первой кадке, потому что там больше удельное давление, то есть давление на единицу поверхности. Отсюда вывод: гусеничный трактор при достаточно широких опорах-траках может пройти там, где человек будет вязнуть.
И еще один не менее наглядный пример как ответ на такой вопрос: почему не рушатся небоскребы?
- Смотрите, - говорит Перельман, - я беру обыкновенную гайку и кладу на землю. Затем наступаю на нее и, видите, вдавливаю в землю. Точно такое же давление оказывает на фундамент самый высокий небоскреб.
«Здравый смысл» и тут протестует:
- Вы весите каких-то 80 килограммов, а небоскреб, наверное, сотни тысяч тонн!
- Верно. И тем не менее все так, как я сказал. Во мне 82 килограмма. Значит, на каждый квадратный сантиметр поверхности гайки приходится примерно 14 килограммов. Именно такую предельную нагрузку принимают во внимание, когда сооружают небоскреб. Его фундамент, достаточно широкий и прочный, держит на себе здание, вес которого превышает порой полтораста тысяч тонн.
Так Перельман стремится привить читателям уважение к счету, к математике, пробудить у них интерес к числу, которое, если наполнить его реальным содержанием, может стать ключом ко многим тайнам, а очевидное превратить в невероятное.
И физика на каждом шагу
Тот же замысел, но уже на материале физики, лежит в основе книги «Физика на каждом шагу». В предисловии к ее первому изданию Перельман писал: «Книга содержит сотню пестрых рассказов из области физики, расположенных в определенной системе и изложенных непринужденно… Она заметно отличается от «Занимательной физики», имеющей в виду более сведущего читателя».
Опираясь на физику как на стройную систему знаний, Перельман уделил здесь основное внимание описанию самодеятельных опытов, которые любой читатель может поставить без особого труда. Таким образом, «физика па каждом шагу» - это своего рода занимательная экспериментальная физика. В этом ее оригинальность.