Исключения из сформулированного правила представляют конечные множества. Конечно же, подобное их положение объясняется тем, что конечные варианты аксиомы выбора являются частными случаями её счётной реализации.
Данное правило построения более сложных множеств на базе менее сложных или «принцип самодостаточности» в своих алгебраических формулировках известны как «гипотеза континуума»17. Из гипотезы континуума, учитывая 7связанную с нею упорядоченность мощностей множеств, вытекает аксиома выбора18, и такое обстоятельство, конечно же, ставит сформулированный принцип самодостаточности в исключительное положение.
Отход от гипотезы континуума эквивалентен отказу от принципа самодостаточности. Логическим следствием такого обстоятельства является ослабление получаемых как следствия модификаций аксиомы выбора, закономерно приводящих к уменьшению возможностей познания.
Однако, в любой ситуации связанный с аксиомой выбора и её более слабыми реализациями принцип сжимающихся отображений позволяет окружать любую точку произвольного множества системой вложенных друг в друга его подмножеств, общее количество которых определяется спецификой ситуации. Как следствие, оказывается, что при любом стечении обстоятельств во множествах реально задавать исчерпывающие системы окрестностей и топологию на их основе.
Антиномия. Одной из отличительных особенностей аксиомы выбора является возможность вывода с её помощью двух противоположных друг другу точек зрения. Как такое ни покажется странным на первый взгляд, подобное свойство не является каким-то единичным явлением, а широко распространено в окружающем мире.
Существующие искажения вопроса. Отмеченный вывод, который, мягко говоря, противоречит интуиции, уже давно известен в философии как «антиномия». История науки утверждает, что слово «антиномия» попало в современную философию из древнегреческого языка, с которого она переводится как «парадокс»19, и, конечно же, первоначально не имела ничего общего с аксиомой выбора.
В современной европейской философии «антиномия» понимается как неразрешимое противоречие между двумя взаимоисключающими положениями, одинаково доказуемыми логическим путём. Подобная точка зрения восходит к Э. Канту, ввёдшему понятие «антиномия» в современную европейскую философию после множества веков его забвения.
Оно является упрощением, которое стало возможно по причине прерывания и забвения традиции, произошедшей после краха античности. Данное обстоятельство и привело к забвению или неправильному пониманию и трактовке древних философских систем многими современниками эпохи Возрождения, а затем и их наследниками.
Истинный смысл базового варианта. В древности же антиномия понималась не просто как фокус сосредоточения двух борющихся друг с другом точек зрения, ни одна из которых не может победить другую, а намного шире. Им обозначались два взгляда на одно и то же явление с противоположными характеристиками.
Согласно древним философским системам, подобные два противоположных взгляда не только существуют, но и взаимодействуют между собой. В конечном счёте, именно такой контакт и способствует взаимному устранению недостатков, присущих каждой из точек зрения, а также накоплению опыта.
Нередко опыт притекает не только из областей, связанных или когда-то касающихся данной проблемы. Он может приходить и оттуда, с чем внутренняя связь была только что обнаружена.
Данный пример взаимодействия полюсов антиномии следует рассматривать как пример «диалектического противоречия», разрешение которого позволяет двигаться вперёд. Можно сказать, что диалектическое противоречие является проявлением системы сдержек и противовесов, которая в идеале оберегает от ошибочных решений.
Однако, к сожалению, так бывает не всегда. Нередко между полюсами антиномии, из-за сложности ситуации и следующего из неё непонимания, вместо диалектического противоречия после разрушения хрупкого баланса интересов может возникать «антагонистическое противоречие».
Антагонистическое противоречие обращает процесс развития. Нередко оно оказывается следствием диспропорций, накопленных при несбалансированном росте, который поэтому следует признать нежелательным.