В конце 30-х годов XX в. математик мог бы принять один из нескольких вариантов оснований математики и заявить, что проводимые им математические доказательства, по крайней мере, согласуются с догматами избранной им школы. Но тут последовал удар ужасающей силы: вышла в свет работа Курта Гёделя, в которой он, среди прочих важных и значительных результатов, доказал, что логические принципы, принятые различными школами в основаниях математики, не позволяют доказать её непротиворечивость. Как показал Гёдель, непротиворечивость математики невозможно доказать, не затрагивая самих логических принципов, замкнутость которых весьма сомнительна. Теорема Гёделя вызвала смятение в рядах математиков. Последующее развитие событий привело к новым осложнениям. Оказалось, например, что даже аксиоматический дедуктивный метод, столь высоко ценимый в прошлом как надёжный путь к точному знанию, небезупречен. В результате этих открытий число различных подходов к математике приумножилось, и математики разбились на ещё большее число группировок.
В настоящий момент положение дел в математике можно обрисовать примерно так. Существует не одна, а много математик, и каждая из них, по ряду причин, не удовлетворяет математиков, принадлежащих к другим школам. Стало ясно, что представление о своде общепринятых, незыблемых истин – величественной математике начала XIX в., гордости человека – не более чем заблуждение. На смену уверенности и благодушию, царившему в прошлом, пришли неуверенность и сомнения в будущем математики. Разногласия по поводу оснований самой «незыблемой» из наук вызвали удивления и разочарование (чтобы не сказать больше). Нынешнее состояние математики – не более чем жалкая пародия на математику прошлого с её глубоко укоренившейся и широко известной репутацией безупречного идеала истинности и логического совершенства.
Как думают некоторые математики, расхождения во мнениях относительно того, что следует считать настоящей математикой, когда-нибудь будут преодолены. Особое место среди тех, кто так считает, занимает группа ведущих французских математиков, пишущих под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки8:
«С древнейших времён критические пересмотры оснований математики в целом или любого из её разделов почти неизменно сменялись периодами неуверенности, когда возникали противоречия, которые приходилось решать… Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение науки; это даёт им право смотреть в будущее спокойно»
Но гораздо больше математиков настроено пессимистически. Один из величайших математиков XX в. Герман Вейль сказал в 1944 г.:
«Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой, в конечном счёте, математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным»
Говоря словами Гёте, «история науки – сама наука».
Разногласия по поводу того, что такое настоящая математика, и существование многочисленных вариантов оснований математики не только серьёзно сказались на самой математике, но и оказали самое непосредственное влияние на физику. Как мы увидим далее, наиболее развитые физические теории ныне полностью «математизированы». (Разумеется, выводы таких теорий интерпретируются посредством так или иначе наблюдаемых «чувственных», подлинно физических объектов: сидя у радиоприёмников, мы слышим реальные голоса, чему не мешает отсутствие представления о том, что такое радиоволны.) Поэтому учёных – даже тех, кто не работает непосредственно над решением фундаментальных проблем, – не может не занимать вопрос о судьбах математики, которую они могут применять с уверенностью, не рискуя затратить годы на изыскания, некорректные в силу сомнительности использования математического аппарата.