При подобном отношении к делу математику ждёт незавидное будущее. С точки зрения здравого смысла, «математика должна прочно стоять на земле и уходить головой в облака»131.
Ведь, и история науки показывает, что «подлинную, живую, содержательную математику рождает сочетание абстракции и конкретных проблем»132 а «чрезмерное внимание к искусственным проблемам чревато опасностью»13. Короче говоря, «математика – чудесное изобретение, но его суть кроется в способности человеческого разума конструировать модели сложных и, казалось бы, не поддающихся описанию явлений природы»134
И здесь есть обширное место развернуться и найти применение своим силам сторонникам абстракции и обобщений, ибо примеров подобных моделей очень много. В их число, конечно же, входят такие жемчужины абстрактной алгебры, как теория групп и теория полей вместе с родственными им абстрактными конструкциями.
Есть ли выход? С точки зрения древнеарийской философии, «в конечном счёте, здравый смысл должен подсказать, какое направление исследований стоит того, чтобы им заниматься»135 Как следствие, исходя из столь фундаментального положения, «математический мир должен проводить различие не между чистой и прикладной математикой, а между математикой, ставящей своей целью решение разумных проблем, и математикой, потакающей лишь чьим-то личным вкусам и прихотям, математикой целенаправленной и математикой бесцельной, математикой содержательной и бессодержательной, живой и бескровной»136
Если говорить конкретно, то «строгость, по выражению Жака Адамара, лишь освещает то, что завоевано интуицией»137. В свою очередь, «Герман Вейль назвал строгость гигиеной, с помощью которой математик поддерживает здоровье и силу идей»138
Строго говоря, «в действительности математик не полагается на строгое доказательство до такой степени, как обычно считают»139, поскольку «его творения обретают для него смысл до всякой формализации, и именно этот смысл сам по себе придаёт реальность»140. При исследовании реальных проблем «интуиция может оказаться более удовлетворительной и вселять большую уверенность, чем логика»141, и потому главным ориентиром почти всегда является соответствие теорий практике.
В результате, «когда математик спрашивает себя, почему верен тот или иной результат, он ищет ответа в интуитивном понимании»142. Поэтому, с точки зрения древнеарийской философии, «строгое доказательство ничего не значит для математика, если результат ему непонятен интуитивно»143.
В результате, «обнаружив непонимание, математик подвергает доказательство тщательнейшему критическому пересмотру»144. И, «если доказательство покажется ему правильным, то он приложит все силы, чтобы понять, почему интуиция его подвела»145.
Дело в том, что «математик жаждет понять внутреннюю причину, по которой успешно срабатывает цепочка силлогизмов»146, и потому «математическая строгость переживает сейчас не лучшее время»147. По данному поводу «математик Анри Леон Лебег… заявил в 1928 г.: «Логика может заставить нас опровергнуть некоторые доказательства, но она не в силах заставить нас поверить ни в одно доказательство»»148.
Иначе говоря, безудержная погоня за строгостью, и, с точки зрения древнеарийской философии, такое вовсе не кажется удивительным, приводит к результату, прямо обратному ожидаемому. Вдобавок, история показывает, что «прогрессу математики, несомненно, способствовали главным образом люди, наделённые не столько способностью проводить строгие доказательства, сколько необычайно сильной интуицией»149.
Именно по такой причине «великие математики заранее, ещё до того, как им удавалось найти логическое доказательство, знали, что какая-то теорема верна, и иногда ограничивались всего лишь беглым наброском доказательства»150. И, «более того, Ферма в своей обширной классической работе по теории чисел и Ньютон (величина, впрочем, как кажется автору, спорная – прим. автора)в работе по кривым третьего порядка не привели даже набросков доказательств»151.