Поэтому так долго, не день, не два, а месяцы занимаются дети как будто далёкими от обычной школьной математики вещами. Но они занимаются важнейшими с точки зрения формирования математического мышления делом: дети овладевают собственными действиями, с помощью которых обнаруживают параметры в вещах, имеющих характер величин (длин, объёмов, высот и т. п.).
Овладение собственным действием! Разве им нужно овладевать? Оказывается, необходимо, чтобы действие это было именно твоим, а не чужим. Вначале он осторожно пробует его совершить: а вдруг не получится. Получилось, но, может, это случайность, нужно повторить. И снова удача. Тогда стоит обследовать каждый сделанный тобой шаг, чтобы осознать весь процесс движения, чтобы ничего не пропустить, сориентироваться. Ещё проверка при полной ориентировке, и снова – да, всё правильно, можно действие взять на вооружение. Отработать его так, чтобы довести до уровня автоматизма, сначала всё быстрее «работая» с реальными предметами, а потом и с воображаемыми. И тогда в один прекрасный день твоё действие становится актом мысли, не осознаваемым в тот момент, когда оно совершается. И совершается оно как будто само собой, как будто он и родился с умением умножать, делить…
Процесс овладения собственными действиями, превращения их в действие мысли, который мы сейчас в очень упрощённом виде описали, и составляет сущность гальперинской теории планомерного формирования умственных действий, с помощью которой может быть зримо представлен процесс усвоения знаний.
На первых уроках математики как раз и формируется действие измерения величин, чтобы впоследствии можно было выйти с его помощью на понятие числа. В ходе его формирования дети находят способ выражения сравниваемых и найденных параметров между собой – ёмкий, простой и лёгкий, с помощью специальных значков, математических символов. Они приходят в самом начале своего пути к алгебраическому уравнению, минуя долгий, сложный, непонятный и запутанный мир арифметических действий (помните, задачи со знаменитыми бассейнами, из которых вода выливается уже по меньшей мере два-три века?).
И- если первокласснику задают конкретную задачу («во дворе играют 15 детей, из них 4 – в прятки, 5 – в снежки, а остальные лепят снежную бабу. Спрашивается: сколько детей лепят бабу?»), то он, решая её, овладевает сложной, но для него необходимой системой математических действий.
Он моделирует ситуацию задачи в схеме, которая выглядит примерно так:
Составление схемы – средство анализа задачи, оно организует поиск решения. Не проба, а целостное разумное действие.
От исходной модели он переходит непосредственно к схеме решения:
Впрочем, выясняется, что схему можно составить и по-другому. Например, так:
От схемы уже совсем легко перейти к уравнению: 4+5+Х=15, решив которое, ребёнок устанавливает, что снежную бабу лепили 6 детей.
Многоступенчатость решения – необходимый этап процесса постепенного сокращения действий, превращение их в мыслительные операции. И когда через некоторое время ребёнок мгновенно составляет уравнение в буквенном виде, то это не просто натасканный приём, который применяют некоторые грамотные родители, обучающие своих детей алгебре как наиболее простому способу решения конкретных задач, а осознанное умение выделить математические абстракции и оперировать с ними. Теперь можно приступать к самому главному, основному, что позволяет детям найти ключ к науке математике, – к понятию числа. Его введение подготовлено всем предшествующим обучением. У ребёнка есть понятие величины, он уже «наработался» с разными величинами, с их отношениями, изучил их свойства.
И вот в один прекрасный день перед ним ставится простая задача, которую он уже многократно решал: выбрать из деревянных планок, находящихся в коридоре, равную образцу в классной комнате. Но когда ребёнок бросается выполнять задание, учитель его неожиданно останавливает.
– Петя, я забыл тебя предупредить: по условию задачи образец с собой в коридор брать нельзя. Как быть?
Ребёнок в недоумении застывает, и точно так же недоумённо смотрит на учителя весь класс.
Дети поставлены в ситуацию, которую, оказывается, нельзя решить известными им способами прямого сравнения величин. Нужен новый неизвестный способ. Дети думают, и вот вскоре появляется догадка:
– Надо измерить чем-нибудь образец…
– Чем?
– Например, тетрадкой… А потом той же тетрадкой измерить деревянную планку в коридоре.
Хитрый приём – ввести величину-посредницу.
– Хитрецы! – говорит учитель.
Дети довольны, они нашли выход.
Так они начинают «хитрить» в процессе обучения. Но это не та хитрость, которая сродни обману других или себя самого. Это хитрость научного метода, с помощью которого обнаруживаются новые действительные связи и отношения между явлениями и предметами.
Ребёнок устанавливает, что перейти от одного к другому можно только через опосредующее звено, через нечто «третье». Нахождение такого опосредующего звена всегда составляет главную трудность любой задачи. Но здесь как раз и обнаруживается, как пишет Э. Ильенков, наличие ума, ибо «третье» всегда обладает ярко выраженными диалектическими свойствами. «Средний член», поскольку он должен иметь прямое отношение и к одной и к другой стороне явления, соединяет их в единую действительную систему. Он – непосредственное единство противоположностей.
Ребёнок не просто получил возможность решить конкретно-практическую задачу – измерение двух величин через третью. Он, так же как и его гениальный предок, обнаруживший способ раскалывать дерево через третье звено – камень-колун, нашёл общий диалектический приём движения мысли. Естественно, он ещё не осознал значения своего открытия: для этого необходимо время. Но важно, что он сделал первый шаг не только в математике. На математическом материале он сделал шаг в мышлении вообще. Впрочем, в действительности всё происходит гораздо проще. Идёт ведь урок математики, а не диалектики.
Другая задача: отрезать кусок верёвки, равный длине линии, нарисованной на доске. Всю верёвку в класс, естественно, приносить нельзя. Дети ищут способы решения конкретных задач, предлагают разные меры измерения, пробуют и делают вывод: уравнение и измерение может осуществляться не только непосредственно, но и опосредованным путём, с помощью выбранной заранее мерки. Оказывается, мерку можно выбрать любую, но если выбрал, дальше работай только с ней.
Итак, в отрезке уложилось три карандаша. Как зафиксировать выполненное действие?
Проще всего буквами, дети к этому давно уже привыкли. Планка – А, карандаш (мерка) – С. Отношение между этими величинами, установленное путём измерения, равно трём.
Запишем: А/С=3. Три – это число.
– А если возьмём другую мерку? Резинку, например. Будет три?
– Не будет!
– А сколько будет?
– Надо измерить.
Вот, оказывается, что такое число: оно «есть частный случай изображения общего отношения величин, когда одна из них принимается за меру вычисления другой», – утверждает В. Давыдов в своей монографии «Виды обобщений в обучении».
Форма А/С=Х, где А – любой объект, рассматриваемый школьником как величина, С – любая мерка, причём не обязательно по физическим свойствам совпадающая с отдельным предметом, она может быть и составной; X – любое число.
Меняя меры, дети изучают на такой модели свойства выделенного отношения. Они выясняют, что при изменении меры меняется и число, относящееся к одному и тому же объекту, к одной и той же величине.
Понимание числа как отношения величин хорошо выразил один ребёнок: «Конечно, десять больше двух. Но если десять – это не просто число, а количество миллиметров, например, а два – это количество сантиметров, то уже не скажешь, что десять больше двух. Значит, число само по себе нам ничего не показывает…»
Как не порадоваться такому рассуждению малыша, поднявшегося, в сущности, до понимания числа как математической абстракции, приобретающей реальное содержание только в органической связи с действительным миром! Причём вывод этого ребёнка не умозрительный, не вычитанный из учебника и не пересказанный со слов учителя; это его собственный вывод на основе его собственного конкретного действия, раскрывающего объективное понятие числа.