Новый способ, новое действие, новое понятие. Но какой это резкий скачок вперёд, насколько он расширяет взгляд ребёнка на математику как науку! Он только в начале пути, но это путь с вершины к безграничным горизонтам математического знания, когда, спускаясь, уточняешь общие представления о местности.
Так и здесь, получая в своё распоряжение обобщённое понятие числа, ребёнок начинает его изучать, скрупулёзно обследовать его свойства.
– Что значит считать? – спрашивает учитель.
– Работать с числами, – спокойно отвечает ребёнок.
– Что я нарисовал на доске?
– Отрезок… Линию.
– Хорошо. Возьму на этой линии точку М и буду откладывать вправо от неё числа. Что для этого у нас должно быть?
– Мерка… Мерку надо взять…
– Берём такую мерку: карандаш. Тогда за точкой М какое будет число?
– Один…
– А если я поставлю следующее число так?..
Учитель отмеряет следующий шаг на отрезке, не равный предыдущему, и ставит цифру 2.
– Неверно!.. – убеждённо говорит ребёнок. – Потому что вы взяли для числа 2 другую мерку. А надо взять одинаковые мерки.
– Допустим. Какое число больше: два или один?
– Конечно, два.
– На сколько?
– На единицу. На одну мерку.
– На сколько пять больше двух?
– На три мерки.
– А сколько можно чисел откладывать на такой линии?
– Много… Да ведь и саму линию можно удлинять на сколько угодно.
– Вот, оказывается, где живут числа, – лукаво говорит учитель, – на таких отрезках. Может нам помочь их местожительство узнать что-нибудь новое о числе?
– Может. Например, узнать, как добираться от одного числа к другому… Линия наводит порядок в числах.
– А как, по-вашему, назвать такую линию?
– Можно назвать безграничной, потому что у неё нет границ, – заявляет малыш.
– Другие предложения есть?
Конечно, есть. Весь класс тянет вверх ручонки, и нас поражают острота и индивидуальность видения и понимания того математического материала, с которым только что работали дети.
– Я назвал бы её циферблатной!..
– Бесконечной…
– Линейкой для цифр.
– Разве это цифры? – немедленно реагирует учитель. – Что такое цифры?
– Значки для обозначения чисел.
– Значит, как назвать?
– Линейкой для чисел.
– Многомерная линия.
– Числовая счётная линия.
– Прямочисленная линия.
– Она – рабочая линия.
– Числовая ось!..
– Что такое ось?
– Это линия, которая что-то на себе держит. Колёса, например. А здесь держит числа.
Учитель улыбается: молодцы!..
Ну как не восхититься образной детской мыслью, раскрепощённой поиском и радостью труда!
Найден не только точный термин, найдено определение красивое, разумное, ясное. Числовая ось держит числа!
В конце концов для него станет очевидным, что любой шаг на луче может соответствовать любому числу, которое он обозначит буквой, и тогда предыдущие и последующие числа будут отличаться на единицу в меньшую или большую сторону.
Но самое важное, что числовой ряд сразу возникает перед ним как бесконечный и поэтому обозначение и запись чисел становится проблемой, которую надо решать. Поиск ответа приведёт ребёнка к счёту группами. Например, десятками. А далее новая проблемная ситуация: как выйти за пределы 10 десятков. И перед глазами ребёнка раскрывается новая математическая реальность – система разрядов, в которой каждый последующий разряд содержит 10 единиц предыдущего.
Так всё более уточняется и обобщается исходное общее отношение между величинами, выражаемое числом, и способ его обнаружения детьми. И когда во втором классе наступает самый драматический момент всего начального курса обучения математике – переход к дробным числам, то для детей это не абсолютно новое явление, требующее пересмотра их прежних представлений о целых числах, а лишь дальнейшая конкретизация понятия числа.
Свойства дроби легко обнаруживаются детьми в уже привычной работе с разными мерками при одной и той же величине. Вначале они убеждаются, что любой остаток можно выразить числом при помощи новой единицы, меньшей, чем задана раньше. Но с двумя разными мерками работать неудобно, значит, надо соотнести их между собой, выразить остаток через старую мерку, которая берётся за целое.
При сравнении дробей с разными знаменателями детям становится очевидно, что увеличивая, например, знаменатель, мы берём меньшую часть старой единицы. Естественно, приходят они и к раскрытию основного свойства дроби: изменить мерку – это значит изменить и числитель и знаменатель в одно и то же число раз. Правило «если числитель и знаменатель изменяются в одно и то же число раз, величина дроби не изменяется» они, естественно, формулируют сами. Им нет необходимости искать его в учебнике. Правило – результат их мысли, действия, работы с понятием числа, которое всё более обретает черты подлинной научности.
Вот он, фундамент всего здания школьного математического образования, утверждает В. Давыдов. Целью такого образования является создание развёрнутой и полноценной концепции действительного числа, в основе которого лежит понятие о величине.
Мы убедились, как оригинально и последовательно решается первая задача: перевести житейские математические представления детей на рельсы научных понятий. Предмет математики – количественные отношения. Увести ребёнка от непосредственности восприятия, от конкретных тел в область математической абстракции, но чтобы он сохранил с ними живую, действительную связь, – вот задача, которую надо было решить в данном эксперименте.
Понятие числа, которое получает ребёнок, для него оказывается необходимым и сознательным. Это сознательное понятие. У него формируется новый «математический» взгляд на вещи – при необходимости он может посмотреть на них и с этой количественной точки зрения. Вещь многогранна, количественная сторона – лишь одна её сторона.
Это не утилитарный взгляд, а научный, объективный, тот уровень абстрактного мышления, который ориентируется на скрытые от прямого наблюдения зависимости. Но тогда как следствие такого обучения обнаруживается удивительная картина: способность осуществлять формальные операции, возникновение которой Ж. Пиаже относил к 11-12 годам, здесь формируется уже в семилетнем возрасте: дети рассуждают о сложных математических отношениях без предметов в чисто словесном плане.
Феномены Пиаже преодолеваются как бы сами собой в ходе принципиально другого способа обучения – теоретического. Упорный труд коллектива психологов Ф. Боданского, Г. Микулиной, Г. Минской, Л. Фридмана и других под руководством В. Давыдова доказал такую возможность. Правда, пока лишь в результате многолетнего психологического эксперимента.
Загадки хитрой фонемы
– Cкажи, Коля, зачем нужна математика?
Щуплый третьеклассник едва заметно пожимает плечами, на миг задумывается.
– Математика – не самая главная наука, – медленно говорит он, – хотя без неё ничего не может быть.
Ребёнок делает небольшую паузу, как бы давая нам время осознать всю парадоксальность высказанной им мысли. Он раскрывает её последовательно и убеждённо, вкладывая в каждое слово мудрость и наивность детского восприятия мира.
– Не было бы математики – не плавали бы корабли… Даже парты делали бы разные. Не было бы математики… Я не знаю, что бы тогда было!..
– Ты сказал: математика – не самая главная наука, – уточняем мы. – А какая наука, по-твоему, самая главная?
– Самая главная наука – это язык, умение общаться.
Математика и язык, язык и математика… Два школьных предмета, которые сопровождают детей на протяжении всех долгих 10 лет школьной жизни. В первом классе они стоят рядом, ещё почти не отличаясь друг от друга простотой и элементарностью операций, которые проделывает ребёнок на уроках.