Жизнь Дашковой началась весьма благоприятно, когда от купели ее восприняли две августейшие персоны: великий князь Петр, будущий император Петр III, которого она потом свергнет, и только что коронованная императрица Елизавета, которая 20 декабря 1742 года вернулась в Петербург после обряда венчания на царство в московском Успенском соборе. Дашкова настаивает в «Записках», что Елизавета согласилась стать крестной матерью из-за ее тесной дружбы с матерью Дашковой, а не потому, что дядя девочки Михаил Воронцов недавно женился на двоюродной сестре императрицы Анне Скавронской, играл одну из ведущих ролей при дворе и был членом узкого круга императрицы, так называемого «кабинета Елизаветы Петровны». Тем самым Дашкова дистанцировалась от наиболее влиятельного члена семьи, главы воронцовской партии при дворе. Через год после рождения Дашковой Михаил Воронцов первым в семье получил титул, когда 27 марта 1744 года император Карл VII сделал его графом Священной Римской империи. Он был пажом Елизаветы и стоял на запятках ее саней, когда они неслись ночью к казармам Преображенского полка во время переворота 25 ноября 1741 года, вознесшего Елизавету на трон. Вместе с доктором Арманом Лестоком, учителем музыки немцем Шварцем, братьями Петром и Александром Шуваловыми и двумя молодыми гвардейскими офицерами он помог Елизавете захватить трон. С тех пор она всегда зависела главным образом от поддержки Михаила Воронцова, трех Шуваловых (Петра, Александра и Ивана), Кирилла Разумовского и Михаила Бестужева.
Его последующая служба вице-канцлером (1744–1758) и канцлером (1758–1763) точно соответствует периоду Семилетней войны и годам детства и юности Дашковой. Во время царствования Елизаветы самым трудным временем для Михаила Воронцова и для всей его семьи была середина 1740-х годов, когда Елизавета обнаружила, что Лесток получал деньги от Британии, Пруссии и Швеции. Хотя она узнала, что Михаил Воронцов также принимал дары от иностранных держав, ему удалось избежать наказания. Тем не менее его репутация была испорчена, и Екатерина II позже напишет, что Михаил «был лицемером, каких свет не производил», «в руках» иностранных послов[28]. Отставленный от придворных дел осенью 1745 года, он вместе с семьей год путешествовал по Европе, посетив Германию, Италию, Францию и Нидерланды. Будучи за границей, он укрепил свои политические и культурные связи с Западом; например, в Италии он посетил Академию наук в Болонье, вручив академическому начальству книги и подарки. В течение ряда лет Михаил Воронцов оставался в тени канцлера Бестужева-Рюмина, но, по мере того как Европа двигалась к Семилетней войне, его положение постепенно улучшалось. Когда Фридрих II вторгся в Саксонию в 1756 году, Бестужев потерял власть, перешедшую к вице-канцлеру Воронцову и Ивану Шувалову. После ареста Бестужева императрица сама явилась в дом к Михаилу, чтобы объявить о его назначении канцлером, и 23 октября 1758 года он занял высший гражданский пост Российской империи.
Рожденная в богатстве и власти, Дашкова росла в самом центре политической и культурной жизни России XVIII столетия. Карьера Михаила Воронцова предрекала ее вовлечение в политику екатерининского царствования — Дашковой, как и ее дяде, предстояло сыграть важную роль в успешном перевороте, пасть жертвой придворных интриг и вынужденно отбыть за границу. Тем не менее, вместо того чтобы представить биографию дяди как образец для ее собственной жизни, она предпочла сделать акцент на личных отношениях между ее матерью и императрицей. Елизавета поняла, что у нее осталось слишком мало средств, после того как близкий друг и сподвижник Петра Великого Александр Меншиков лишил ее с сестрой большей части материнского наследства. Она горько жаловалась на это и никогда не простила бедности, от которой она, дочь Петра Великого, страдала после смерти матери. Ее, как ей казалось, «нищета» стала еще более острой в правление императрицы Анны, и мать Дашковой, Марфа Ивановна Воронцова, пришла на помощь Елизавете, снабжая ее деньгами. Михаил Воронцов и отец Дашковой Роман в большой степени обязаны своим продвижением при дворе дружбе Марфы с Елизаветой. По мнению Дашковой, история матери создала оправдание ее собственным действиям, а также чувство преемственности — альтернативную генеалогию, основанную на женской дружбе, вместо традиционного семейного древа, построенного на передаче титулов и состояния от отца к сыну. Она выявила солидарность между Елизаветой и ее матерью как наследие взаимной поддержки женщин, отразившее и предсказавшее ее собственные отношения с Екатериной II.