7. Hasta el siglo XIX los matemáticos no descubrieron que el postulado de las paralelas es el que caracteriza de modo único la geografía euclidiana. Si se infringe, la geometría cambia fundamentalmente de naturaleza: se convierte en no euclidiana y permite presentar el modelo de un espacio dotado de una curvatura. En el siglo XX, con la teoría de la relatividad general de Einstein, se advirtió que el espacio cósmico se representa justamente por una geometría no euclidiana.
8. Los números primos eran objeto de fascinación desde el tiempo de los pitagóricos. Un número es primo si sólo es divisible por sí mismo y por uno. La criba de Eratóstenes consiste en establecer la lista de todos los números enteros y proceder por eliminación. Partamos de 2, el menor de los primos. Tachemos todos sus múltiplos: 4, 6, 8, etc. El primer número no tachado es 3, y es primo. A continuación hay que tachar todos sus múltiplos: 6, 9, 12,15, etc. El primer número no tachado es 5. Se prosigue así el proceso, hasta el infinito… La criba de Eratóstenes permite, por ejemplo, encontrar fácilmente los veinticuatro números primos hasta 100: 2,3,5,7,11, 13,17, […], 97.
9. Cuando los rayos solares caen verticalmente sobre Siene, forman cierto ángulo a en Alejandría (este ángulo se calcula a partir de la longitud d de la sombra que proyecta un bastón vertical de altura h). Ahora bien, este ángulo a es igual al arco que separa Siene de Alejandría (teorema de la igualdad de los ángulos alternos/internos). Eratóstenes encontró un ángulo de 7,2°, es decir de 1/50 de círculo (50 X 7,2° = 360°). La circunferencia de la Tierra es pues 50 veces la distancia entre Siene y Alejandría.
Método de Eratóstenes para determinarla circunferencia de la Tierra.
10. En la Antigüedad, existían varias unidades llamadas estadio; la más utilizada era el «estadio de Olimpia», que equivalía a 157,50 metros. Los 250.000 estadios calculados por Eratóstenes corresponden pues a 39.375 km, un margen de error inferior al 1 % con respecto al valor moderno. Para que la medida sea correcta, Siene y Alejandría deben estar situadas en el mismo meridiano. Eratóstenes sabía que existen grandes círculos fácilmente reconocibles en el globo esférico de la Tierra: los meridianos, orientados de norte a sur. Para realizar su operación, eligió el meridiano más conocido, el de Rodas, que pasa por Alejandría, Siene y sigue, más o menos, el curso del Nilo. Ahora bien, aunque el Nilo corra, aproximadamente, a lo largo de una línea norte-sur, Eratóstenes sabía muy bien, como muestra su mapa de Egipto, que se desvía ligeramente hacia el este. Pero el error es desdeñable, lo que explica la extraordinaria precisión del resultado de Eratóstenes.
11. Estas «tablas de cuerdas» calculadas por Hiparco son precursoras de nuestras tablas trigonométricas que dan los senos y los cosenos de los ángulos.
12. El fenómeno de precesión de los equinoccios sólo encontró explicación dos milenios después de Hiparco, con el concepto de la atracción universal de Newton. A causa de las perturbaciones debidas a la atracción conjunta de la Luna y el Sol sobre el globo terrestre, el eje de rotación de la Tierra no mantiene la misma dirección en el espacio: describe muy lentamente un cono, con un período cercano a 26.000 años, lo que corresponde a un valor de 50,3 segundos de arco por año (un período completo corresponde a 360 grados, estando cada grado dividido en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos). El valor medido por Hiparco, 46 segundos, estaba pues muy cercano al valor moderno.
13. La Composición matemática de Tolomeo sería traducida al árabe en el siglo IX por Tabit ibn Qurra y se llamaría en adelante Almagesto, que significa «el muy grande».
14. El más célebre tratado de música de la Antigüedad, debido a Nicómaco de Gerase, designa los grados de la escala de siete tonos con los nombres de Hipate, Mete, Mese, Quarte, etc. Esos grados definían la armonía que, supuestamente, regía el mundo de los astros. El Hipate, primer grado de la escala de los sonidos, corresponde a lo que los músicos de hoy denominan la nota fundamental o tónica.
Agradecimientos
En la elaboración de esta obra, André Balland fue mi Demetrio de Palero, y Olivier Ikor, mi bastón de Euclides. Por lo que se refiere a la Fondation des Treilles, fue mi Museo de Alejandría: como los Tolomeos de antaño, sus príncipes permiten a sabios y poetas sondear los secretos del Universo con toda tranquilidad, alojados y -muy bien- alimentados. ¿Cómo agradecérselo a los príncipes?
Jean-Pierre Luminet
