Как же очертить границы самой арифметики?
В каком смысле употребляется это слово?
Под словом «арифметика» можно понимать:
учебный предмет, занимающийся преимущественно рациональными числами (целыми числами и дробями), действиями над ними и задачами, решаемыми с помощью этих действий;
часть исторического здания математики, накопившую различные сведения о вычислениях;
«теоретическую арифметику» - часть современной математики, занимающуюся конструированием различных числовых систем (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа и их обобщения);
«формальную арифметику» - часть математической логики (см. Логика математическая), занимающуюся анализом аксиоматической теории арифметики;
«высшую арифметику», или теорию чисел, самостоятельно развивающуюся часть математики.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Арифметической прогрессией называют последовательность (an), у которой каждый член, начиная со второго, больше (или меньше) предыдущего на постоянное (для данной прогрессии) число d. Число d называют разностью арифметической прогрессии. Другими словами, арифметическая прогрессия – это последовательность, заданная по правилу: a1 и d даны, an+1 = an + d при n ≥ 1.
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому последующего и предыдущего членов:
.
Это отражено в названии последовательности: арифметическая прогрессия. Верно и более общее свойство:
при n≥k.
Справедливы следующие формулы (через Sn обозначена сумма первых n членов арифметической прогрессии):
an = a1 + (n-1)d, (1)
, (2)
. (3)
С формулой (3) связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф. Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно:
1+2+3+4+5+...+40».
Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил». Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.
Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41:
1, 2, 3, ... , 20
+
40, 39, 38, ..., 21
------------------
41, 41, 41, ..., 41
Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41·20 = 820.
Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времен. Греческих математиков интересовала связь прогрессий с так называемыми многоугольными числами (см. Фигурные числа), вычислением площадей, объемов, красивыми числовыми соотношениями типа:
|
1 = 12 1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32 1 + 3 + 5 + 7= 42 |
1 = 13 3 + 5 = 23 7 + 9 + 11 = 33 13 + 15 + 17 + 19 = 43 |
Большой популярностью даже в наши дни пользуются магические квадраты (см. Магические и латинские квадраты). Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали равны (рис. 1). Такой магический квадрат изображен на гравюре немецкого художника А. Дюрера «Меланхолия».
Рис. 1
АСИМПТОТА
Асимптота кривой – это прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность. Представьте себе мчащийся по прямолинейному шоссе автомобиль и всадника, скачущею по полю с той же скоростью, но направленной в каждый момент на автомобиль. Маршрут всадника в этом случае будет кривой линией, называемой трактрисой, для которой линия шоссе является асимптотой. Если кривая, заданная уравнением y=f(x), удаляется в бесконечность при приближении x к конечной точке a, то прямая x = a называется вертикальной асимптотой этой кривой. Такими асимптотами являются прямая x=0 для гиперболы y = 1/x, каждая из прямых x=kπ (k = 0,±1,±2,...) для функции y = ctg x (рис. 1).
Рис. 1
Помимо вертикальной асимптоты x=0 гипербола y = 1/x имеет еще и горизонтальную асимптоту y=0, как и график функции y = e-xsin x, однако он, в отличие от гиперболы, пересекает свою горизонтальную асимптоту в бесконечном множестве точек (рис. 2).
