Сильная тренированная память, справлявшаяся с громоздкими формулами и выражениями, позволяла Л. С. Понтрягину успешно выполнять глубокие теоретические исследования, не прибегая к бумаге. Им опубликовано свыше 150 работ. В 1958 г. его избрали академиком.
За плодотворную научную деятельность Л. С. Понтрягину присвоено звание Героя Социалистического Труда, он награжден четырьмя орденами Ленина, а также другими орденами и медалями.
Научную деятельность Л. С. Понтрягин сочетал с активным интересом к преподаванию. Его учебник по дифференциальным уравнениям, не раз издававшийся в СССР и за рубежом, удостоен Государственной премии. Специально для школьников он написал несколько книг из серии «Знакомство с высшей математикой».
------------------------------------------
Разумеется, все это лишь отдельные наглядные примеры топологических фактов. В наши дни топология - большая, обстоятельная наука, в которой изучаются глубинные свойства геометрических фигур. Проблема четырех красок (см. Комбинаторика, Графы), узлы, зацепления (рис. 4-6), природа линий и поверхностей и многое другое изучается в топологии. Даже так называемая основная теорема алгебры (см. Многочлен) является в действительности топологической теоремой. Современная топология находит ряд интересных и важных приложений в других разделах математики, в физике, например в электротехнике, в теории жидких кристаллов, в молекулярной биологии, в космогонии и т.д.
Рис. 4. Схема морского узла.
Для того, чтобы определить степень сцепления двух узлов, вводится понятие коэффициента зацепления. На рис. 5 он равен 0, а на рис. 6 -1.
Рис. 5
Рис. 6
ТРЕУГОЛЬНИК
Простейший из многоугольников – треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на «трех китах» - трех признаках равенства треугольников. Лишь на рубеже XIX-XX вв. математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия геометрического преобразования.
За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.
В треугольнике ABC выделяют 6 основных элементов - 3 (внутренних) угла A,B,C и 3 соответственно противолежащие им стороны a, b и c. Признаки равенства треугольников можно сформулировать так: треугольник однозначно (т.е. с точностью до равенства) восстанавливается по следующим тройкам основных элементов:
a, b и C; a, B и C; a, b и c.
Из школьного курса вам известны еще «три кита» евклидовой планиметрии - три признака подобия треугольников: треугольник с точностью до подобия восстанавливается по следующим парам величин:
a:b,C; a:b, b:c; A,B.
Заметим, что в признаках равенства нельзя взять любую тройку основных элементов, даже если один из них - сторона; на рис. 1 показано, например, что треугольник нельзя однозначно построить по элементам a, b и B: треугольники A1BC и A2BC имеют общие угол B и сторону BC = a, равные стороны A1C и A2C, но эти треугольники не равны.
Рис. 1
Кроме того, элементы треугольника нельзя задать произвольно, даже если их только три. Например, чтобы можно было построить треугольник по трем сторонам a, b и c, необходимо (и достаточно) (см. Необходимые и достаточные условия), чтобы выполнялись три «неравенства треугольника»:
a < b + c; b < a + c; c < a + b.
Углы треугольника связаны более жестким соотношением:
A + B + C = 180° (или π).
Анализируя первый и второй признаки равенства - по a, b, C или a, B, C, - мы приходим к выводу о том, что остальные элементы треугольника ABC, в частности сторона c, однозначно определяются имеющимися тремя элементами. Для стороны c соответствующие формулы даются теоремами косинусов и синусов:
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C и