Рис. 2
Отрезая теперь от упомянутого шестиугольника треугольники O1AO3 и O2CO3, перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис. 3, получаем четырехугольник O1DO2O3. Отрезок O1O2 делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы DO2O3 и O1O2O3 равны 120° каждый. Поэтому углы O2O1O3 и O1O2O3 равны 60° каждый. Следовательно, треугольник O1O2O3 равносторонний, что и требовалось доказать.
Рис. 3
Задача эта может послужить отправным пунктом для небольшого геометрического исследования. Проверьте, будут ли центры равносторонних треугольников, построенных внутренним образом на сторонах произвольного треугольника как на основаниях, являться вершинами равностороннею треугольника.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в запись которых входят тригонометрические функции от неизвестного (см. Уравнения). При решении тригонометрических уравнений их обычно сводят к простейшим уравнениям вида R(x) = a, где R(x) - одна из основных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), a - некоторое число.
Простейшие тригонометрические уравнения
sin x = a и (1)
cos x = a (2)
при |a|>1 не имеют решений (рис. 1a, 2а), а при |a|≤1 имеют два корня на любом полуоткрытом промежутке длины 2π (совпадающие при |a| = 1 (рис. 1б, 2б). Все корни этих уравнений выписывают с помощью формул
x = (-1)k arcsin a + πk, k = 0,±1,±2,...,
для уравнения (1);
x = ± arccos a + 2πk,
для уравнения (2)
(рис. 1, 2) (см. Обратные тригонометрические функции).
Рис. 1
Рис. 2
Уравнение
tg x = a (3)
имеет при любом a один корень на любом полуоткрытом промежутке длины π, при этом
x = arctg a + πk, k ∈ Z.
Уравнение
ctg x = a (4)
также имеет при любом a один корень на любом полуоткрытом промежутке длины π, корни уравнения (4) задаются формулой
x = arcctg a + πk, k ∈ Z.
Уравнение вида R(g(x)) =a заменой переменной y = g(x) сводится к простейшему уравнению R(y) = a (R - одна из основных тригонометрических функций). Из этого уравнения можно найти значения yk, после чего останется решить уравнение замены g(x) = yk.
Решим уравнение sin 1/(x-2) = 0. Обозначая y = 1/(x - 2), получим 1/(x - 2) = πk, k = ±1,±2,...; x - 2 = 1/πk, x = 2 + 1/πk. Ответ: {2 + 1/πk; k = ±1,±2,...}.
Нередко замена y = R(x) сводит исходное уравнение к алгебраическому относительно R(x). После нахождения значений y1,y2,... остается решить простейшие уравнения R(x) = y1, R(x) = y2. Например, замена y = sin x сводит уравнение 1 - sin x - 2cos2 x = 0 к алгебраическому уравнению 2y2 - y - 1 = 0.
В случае, когда определен tg(x/2), справедливы формулы:
; 
; 
.
С помощью этих формул уравнение, связывающее значения sin x, cos x, tg xи ctg x, приводится к уравнению относительно t = tg(x/2). Отдельно надо рассмотреть случай, когда tg(x/2) не определен (т.е. cos (x/2) = 0).
Решим уравнение 2 sin x + cos x = ctg(x/2) - 1. Значения π + 2πk, k = 0,±1,±2,... при которых не определен tg(x/2), являются решениями уравнения (при таких x cos x = -1, sin x = 0, ctg (x/2) = 0 и 2·0-1 = 0-1). При остальных x можно воспользоваться формулами (5); обозначая tg(x/2) через t, получим:
, 3t2 + 2t - 1 = 0,
откуда t = -1 или t = 1/3.
Ответ:
{π + 2πk; -π/2 + 2πk; 2arctg 1/3 + 2πk, k = 0,±1,±2,... }.
Уравнение вида
A cos x + B sin x = C, (6)
где A,B,C - некоторые числа, удобно решать с помощью введения вспомогательного аргумента по следующей схеме. Записывая уравнение (6) в виде