Рис. 5
Простейший анализ (с помощью графика) показывает, что помимо отмеченной выше справедливы также следующие так называемые формулы приведения:
sin(φ+nπ) = ±sinφ, cos(φ+nπ)=±cosφ, sin(φ+nπ/2) = ±cosφ, cos(φ+nπ/2) = ∓sinφ.
В формулах первой строки n может быть любым целым числом, причем верхний знак соответствует 
, нижний знак - значению 
, а в формулах второй строки n может быть только нечетным числом, причем верхний знак берется при 
, а нижний - при 
, k - целое.
С помощью основных тригонометрических функций sin φ и cos φ можно определить другие тригонометрические функции - тангенс и котангенс:
tgφ = sinφ / cosφ, ctgφ = cosφ / sinφ;
при этом тангенс определен только для таких значений φ, для которых cosφ≠0, т.е. для φ≠π/2+nπ, n = 0,±1,±2,..., а функция котангенс - для таких φ, для которых sinφ≠0, т.е. φ≠nπ, n = 0,±1,±2,.... Эти функции для острых углов могут быть также представлены геометрически направленными отрезками прямых (рис. 6):
tgφ=|AB|, ctgφ=|CD|.
Рис. 6
Подобно синусу и косинусу, функции тангенс и котангенс для острых углов могут рассматриваться как отношения катетов: противолежащего к прилежащему для тангенса и прилежащего к противолежащему для котангенса. Графики функций y=tgφ и y=ctgφ показаны на рис. 7 и 8; как видно, эти функции являются нечетными, периодическими и имеют в качестве периода числа nπ, n=±1,±2,....
Рис. 7
Рис. 8
Важнейшие тригонометрические формулы - формулы сложения:
sin(φ1±φ2)=sinφ1·cosφ2±cosφ1·sinφ2,
,
;
знаки в левых и правых частях формул согласованы, т.е. верхнему знаку слева соответствует верхний знак справа. Из них, в частности, выводятся формулы для кратных аргументов:
sin2φ=2sinφ·cosφ,
cos2φ=cos2φ-sin2φ,
.
Сумму и разность тригонометрических функций можно представить в виде произведения тригонометрических функций (знаки в первой и четвертой формулах согласованы):
,
,
,
.
Произведение тригонометрических функций выражается через сумму следующим образом:
sinφ1·cosφ2 = 1/2[sin(φ1+φ2) + sin(φ1-φ2)],
sinφ1·sinφ2 = 1/2[cos(φ1-φ2) - cos(φ1+φ2)],
cosφ1·cosφ2 = 1/2[cos(φ1+φ2) + cos(φ1-φ2)].
Производные тригонометрических функций выражаются через тригонометрические функции (здесь и всюду в дальнейшем мы заменим переменную φ на x):
(sin x)' = cos x, (cos x)' = - sim x, (tg x)' = 1/cos2x, (ctg x)' = - 1/sin2x.
При интегрировании тригонометрических функций получаются тригонометрические функции или их логарифмы ( 0 < x < π/2, C - абсолютная постоянная):
, 
, 
, 
.
Основные тригонометрические функции u=cos x и v = sin x, как мы видели, связаны следующими соотношениями:
u' = -v, v' = u.
Дифференцируя вторично эти равенства, получаем:
u" = -v' = -u, v" = u' = -v.
Таким образом, функции u и v от переменной x могут рассматриваться как решения одного и того же (дифференциального) уравнения y"+y=0.
Это уравнение, а точнее - его обобщение, содержащее положительную постоянную k2, y"+k2y=0 (решениями которого, в частности, служат функции cos kx и sin kx), постоянно встречается при изучении колебаний, т.е. при изучении конструкций механизмов, совершающих или производящих колебательные движения.
Функция cos x может быть представлена в виде бесконечного ряда 1-x2/2!+x4/4!-x6/6!.... Если взять несколько первых членов этого ряда, мы получим приближения функции cos x с помощью многочленов. На рис. 9 показано, как графики этих многочленов с ростом их степени все лучше приближают функцию cos x.
Рис. 9
Название «синус» происходит от латинского sinus - «перегиб», «пазуха» - представляет собой перевод арабского слова «джива» («тетива лука»), которым обозначали синус индийские математики. Латинское слово tangens означает «касательная» (см. рис. 6; AB - касательная к окружности). Названия «косинус» и «котангенс» представляют собой сокращения терминов complementi sinus, complementi tangens («синус дополнения», «тангенс дополнения»), выражающих тот факт, что cos φ и ctgφ равны соответственно синусу и тангенсу аргумента, дополнительного к φ до π/2: cosφ = sin(π/2-φ), ctgφ=tg(π/2-φ).