В планиметрии рассматривают еще один тип углов - углы поворотов. Во-первых, они имеют знак: плюс, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, и минус, если поворот - по ходу часовой стрелки. Поворот около точки O на угол α обозначается 
. Если углы поворотов α, β и их сумма α + β заключены в пределах от -360° до 360°, то при последовательном выполнении (композиции) поворотов их углы складываются (рис. 6):
.
Рис. 6
Чтобы сохранить эту удобную формулу при произвольных α и β, и чтобы можно было рассматривать механический процесс вращения, при котором в угол поворота целесообразно включить и проделанные полные обороты (на 360°), пришлось ввести углы поворотов произвольной величины (как больших 360°, так и меньших -360°). Тогда, например, при вращении точки P около точки O с постоянной угловой скоростью ω (рад/с) положение P в момент времени t дается формулой
Pt = ROωt(P) (рис. 7).
Рис. 7
Так введенные углы поворотов позволяют определить тригонометрические функции числового аргумента: в координатах Oxy для произвольного числа t полагают, что (cos t, sin t) - координаты точки Pt = RtO(PO), где PO - точка с координатами (1,0), а угол поворота t берется в радианах.
В стереометрии рассматриваются двугранные углы - части пространства, на которые оно разбивается двумя полуплоскостями (гранями угла), ограниченными общей прямой (ребром угла, рис. 8), и многогранные (n-гранные, где n≥3) углы - части пространства, ограниченные несколькими последовательно прилегающими друг к другу плоскими углами с общей вершиной. На рис. 9 изображен трехгранный угол OA1A2A3 с вершиной O, ребрами - лучами OA1, OA2, OA3 и гранями - плоскими углами A1OA2, A2OA3 и A3OA1.
Рис. 8
Рис. 9
Двугранные углы измеряются так же, как и отвечающие им линейные углы - плоские углы, получающиеся при пересечении двугранных углов плоскостями, перпендикулярными их ребрам (рис. 8). Для многогранных углов вводится телесная мера, аналогичная радианной мере плоских углов. Эта мера, измеряемая в стерадианах (стер), равна отношению площади сферического многоугольника, получающегося в пересечении многогранного угла со сферой с центром в вершине угла, к квадрату радиуса сферы (см. рис. 9). Например, угол комнаты «вырезает» из сферы октант - 1/8 ее часть, поэтому его телесная мера равна (4πR2/8) : R2 = π/2 (стер). Оказывается, телесная мера n-гранного угла OA1A2...An выражается через радианные меры его двугранных углов по формуле нидерландского математика XVII в. А. Жирара
Ω = A1 + A2 + ... + An - (n-2)π,
где Ai - величина (в радианах) двугранного угла при ребре OAi (i = 1,2,...,n).
Углом между двумя скрещивающимися прямыми a и b называется угол между проведенными через одну точку параллельными a и b прямыми. Угол между пересекающимися прямыми - это наименьший из получающихся при пересечении плоских углов (т.е. углов между лучами). Аналогично определяется и угол между пересекающимися плоскостями. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на плоскость; если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними считается равным 90°. Углы между параллельными или совпадающими прямыми и плоскостями считаются равными 0°, так что все перечисленные в этом абзаце углы заключены в пределах от 0° до 90°.
УРАВНЕНИЕ
Уравнение - это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Решить уравнение - значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.
В школьном курсе, как правило, рассматривают уравнения, в которых неизвестные принимают числовые значения. Числовое значение неизвестного, удовлетворяющее уравнению с одним неизвестным, называется корнем или решением этого уравнения. Набор чисел, удовлетворяющих уравнению с несколькими неизвестными, называется его решением.