Рис. 2
У кривой, носящей название «декартов лист» (рис. 3), уравнение которой x3 + y3 - 3axy = 0, имеется наклонная асимптота, как и у кривой y = x + 1/x2 (рис. 4). Коэффициенты k и b в уравнении прямой y = kx + b, являющейся наклонной асимптотой кривой y=f(x) при стремлении к плюс или минус бесконечности, находятся как пределы:
, 
.
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при k = 0.
Рис. 3
Рис. 4
Исследование асимптот позволяет более четко представить поведение графика функции, поскольку свойства функции вблизи ее асимптоты очень близки к свойствам асимптоты – линейной функции, свойства которой хорошо изучены. Систематическое использование этого свойства породило целое направление в современной математике - «асимптотические методы исследования». Таким образом, понятие, возникшее еще в Древней Греции, переживает в наше время второе рождение.
Не у всякой кривой, уходящей в бесконечность, есть асимптота. Например, известная вам кривая парабола асимптот не имеет.
БЕРНУЛЛИ ЛЕМНИСКАТА
Лемниската – кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек – фокусов – постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. Эта линия изображена на рисунках, по форме напоминает восьмерку. Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705) дал этой кривой поэтическое название «лемниската». В античном Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх.
Уравнение лемнискаты в прямоугольных координатах: (x2 + y2)2 - 2a2(x2 - y2) = 0, уравнение в полярных координатах: p2 = 2a2 cos 2φ.
ВЕКТОР
Вектор – одно из основных геометрических понятий. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виду целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление (рис. 1). Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скорость (поступательно движущегося тела), ускорение, сила и др.
Рис. 1
Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и ее приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея-Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.
Каждый из направленных отрезков, составляющих вектор (рис. 1), можно назвать представителем этого вектора. Вектор, представителем которого является направленный отрезок, идущий от точки A к точке B, обозначается через 
. На рис. 1 имеем 
, т.е. и 
- это один и тот же вектор (представителями которого являются оба направленных отрезка, выделенных на рис. 1). Иногда вектор обозначают малой буквой со стрелкой: 
, 
.
Вектор, изображаемый направленным «отрезком», у которого начало и конец совпадают, называется нулевым; он обозначается через 
, т.е. 
. Два параллельных вектора, имеющих одинаковые длины, но противоположные направления, называются противоположными. Если вектор обозначен через , то противоположный ему вектор обозначается через 
.
Назовем основные операции, связанные с векторами.
I. Откладывание вектора от точки. Пусть - некоторый вектор и A - точка. Среди направленных отрезков, являющихся представителями вектора , имеется направленный отрезок, начинающийся в точке A. Конец B этого направленного отрезка называется точкой, получающейся в результате откладывания вектора от точки A (рис. 2). Эта операция обладает следующим свойством:
I1. Для любой точки A и любого вектора существует, и притом только одна, точка B, для которой 
.
Рис. 2
Сложение векторов. Пусть и - два вектора. Возьмем произвольную точку A и отложим вектор