Пусть через один такт времени красная клетка превращается в зеленую, а та в свою очередь через один такт делится на две - красную и зеленую. Тогда число клеток каждого поколения можно выразить числом Фибоначчи
Уже в нашем веке были найдены новые свойства и применения чисел Фибоначчи. Среди них - самый быстрый способ отыскания экстремума для функции y=f(x) с двумя промежутками монотонности [a, x*] и [x*, b] (т.е. с одним экстремумом): оказывается, в наилучшем плане поиска точки экстремума x*, состоящего из n шагов, участвуют числа Фибоначчи u1,u2,...,un+2.
ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА
Про числа 25, 49, 100 говорят, что они являются квадратами. А почему? Потому что они получаются, если возвести числа 5, 7 и 10 в квадрат. Но имеет ли это название какое-нибудь отношение к геометрической фигуре - квадрату? Посмотрим на рис. 1. Солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты. Число солдат внутри такого квадрата легко подсчитать - нужно умножить их число вдоль горизонтальной стороны на число солдат вдоль вертикальной стороны (заметим, что эти числа равны), и получится общее количество солдат внутри квадрата.
Рис. 1
В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны треугольные числа, которые получаются так, как это показано на рис. 2 в верхней его части. Нетрудно заметить, что n-е квадратное число равно n2, а n-е треугольное число равно сумме всех целых чисел от 1 до n, т.е. n(n+1)/2 (см. Арифметическая прогрессия).
Рис. 2
Пятиугольные числа изображены на рис. 2. Чтобы сосчитать n-е пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется еще n точек, как показано на рисунке. В результате получаем, что n-е пятиугольное число равно 
.
Подобным образом можно образовывать любые многоугольные числа. Формула для n-го k-угольного числа такова:
.
При k=3 мы получаем треугольные числа, при k = 4 - квадратные и т.д.
Аналогично можно представить число в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами (рис. 2), а для числа 13 - лишь расположив все предметы в одну линию. Такое число древние не считали прямоугольным. Таким образом, прямоугольными числами являются все составные числа, а непрямоугольными - простые числа.
К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что n-е пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел - от первого до n-го. Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид
nn=n(n+1)(n+2)/6.
ФОРМУЛА
Формула комбинация математических знаков и букв, выражающая какое-либо предложение.
Например, формула синуса тройного угла (см. Угол), выражающая его через синус простого угла:
sin 3α = 3 sin α - 4 sin3α.
Известно много формул, связывающих между собой элементы треугольника (a, b, c - длины сторон, r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей). Вот одна из них:
1/ab+ 1/bc + 1/ca = 1/2Rr.
Как правило, термин «формула» употребляют по отношению к комбинациям знаков и букв, которые:
состоят из двух частей, соединенных знаком равенства;
выражают истинное при определенных условиях утверждение;
позволяют выразить некоторую величину через другие.
Особое значение термин «формула» приобретает в математической логике, где он применяется по отношению к выражениям формального языка, построенным по определенным правилам.
ФУНКЦИЯ
Функция - это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.
Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т.д. - имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.
В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.