Например, в соотношении y=x2 геометр или геодезист увидит зависимость площади y квадрата от величины x его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы y сопротивления воздуха или воды от скорости x движения. Математика же изучает зависимость y=x2 и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например, что при зависимости y=x2 увеличение x в 2 раза приводит к четырехкратному увеличению y. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.
«Поворотный пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика.» Ф. Энгельс
Понятие функции для математики и ее приложений, связанных с изучением переменных величин, столь же фундаментально, как понятие числа при изучении количественных соотношений реального мира.
Математическое описание понятия функциональной зависимости или функции состоит в следующем.
Пусть X и Y - какие-то множества. Говорят, что имеется функция, определенная на множестве X со значениями в множестве Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу x ∈ X соответствует определенный элемент y ∈ Y.
В этом случае множество X называется областью определения функции; символ x его общего элемента - аргументом функции или независимой переменной; соответствующий конкретному значению x0 ∈ X аргумента x элемент y0 ∈ Y называют значением функции на элементе x0 или значением функции при значении аргумента x = x0 и обозначают через f(x0). При изменении значений аргумента значения y = f(x) ∈ Y, вообще говоря, меняются (в зависимости от значения x). По этой причине величину y=f(x) часто называют зависимой переменной.
Совокупность всех значений, которые функция принимает на элементах множества X, называют множеством значений функции и иногда обозначают через f(X). В частности, если это множество состоит только из одного элемента y ∈ Y, то функция называется постоянной на множестве X.
Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского авиалайнера. Пусть X - множество пассажиров, а Y - множество кресел салона. Тогда возникает естественное соответствие f: каждому пассажиру x ∈ X сопоставляется то кресло y=f(x), в котором он сидит. Мы имеем здесь, таким образом, простой пример функции, областью определения которой является множество X пассажиров, а областью значений - множество f(X) занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y, то множество значений функции будет подмножеством Y, не совпадающим со всем множеством Y.
Если в кресле y0 находятся два пассажира 
и x"0 (например, мать и ребенок), то это никак не противоречит определению функции f, которая и , и x"0 однозначно ставит в соответствие кресло y0. Правда, такая функция принимает одно и то же значение y0 при разных значениях , x"0 аргумента, подобно тому как числовая функция y = f(x) = x2 принимает одно и то же значение 9 при x = -3 и x = +3.
«Весь анализ бесконечных вращается вокруг переменных величии и их функций». Л. Эйлер
Если, однако, какой-то пассажир x0 ухитрится сесть сразу в два кресла y'0, y"0, то нарушится принцип однозначной определенности значений функции, поэтому такая ситуация не является функциональной в смысле данного выше определения функции, поскольку требуется, чтобы каждому значению x аргумента соответствовало одно определенное значение y=f(x) функции.
В зависимости от природы множеств X, Y термин «функция» в различных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: соответствие, отображение, преобразование, оператор, функционал и т.д. Отображение - наиболее распространенный из них.
Для функции (отображения) приняты следующие обозначения: f : X → Y и 
. Если из контекста ясно, каковы область определения и область значений функции, то используют также обозначения x → f(x) или y=f(x), а иногда обозначают функцию вообще одним лишь символом f. Вместо стандартной тройки (X,f,Y) для обозначения функции можно, разумеется, использовать и любые иные буквы, например рассматривать отображения φ : A → B, Ψ : U → Y и т.д.
Когда функцию f : X → Y называют отображением, значение f(x) ∈ Y, которое она принимает на элементе x ∈ X, обычно называют образом элемента x. Образом множества A ⊂ X при отображении f : X → Y называют множество f(A) тех элементов Y, которые являются образами элементов множества A.