------------------------------------------
Пусть B - множество кубов в пространстве. Положительному числу x ∈ 𝑹+ поставим в соответствие один выбранный из множества B куб b(x) с ребром, длина которого равна x. Тогда возникает функция f : 𝑹+ → B, определенная на множестве чисел 𝑹+, значения которой лежат в множестве B кубов.
Мы часто говорим «рассмотрим последовательность z1,z2,z3,...,zn,... элементов множества Z», имея в виду, что каждому натуральному числу n ∈ N ставится в соответствие некоторый элемент zn множества Z. Таким образом, последовательность - это функция f : N → Z, заданная на множестве натуральных чисел.
Если на прямой ввести две системы координат {x}, {x'}, имеющие одинаковый масштаб (единицу длины), то координаты x и x' одной и той же точки прямой в этих системах будут связаны соотношением x'=x-c, где c - координата в системе {x} начала отсчета системы {x'}. Функция x'=x-c в этом случае обычно называется преобразованием координат. Термин «преобразование» часто встречается в геометрии (см. Геометрические преобразования), а также в физике в связи с разнообразными преобразованиями координат.
Каждой числовой функции f : [0;1] → R, определенной на отрезке 0≤x≤1, ставим в соответствие ее значение f(x0) в некоторой фиксированной точке x0 этого отрезка. Соответствие f → f(x0) порождает принимающую числовые значения функцию 𝓕 : F → 𝑹, определенную на множестве 𝓕 = {f} всех указанных функций f. Для удобства функции, определенные на функциях и принимающие числовые значения, обычно называют функционалами. Так что мы построили функционал 𝓕 : F → 𝑹. Другим примером функционала L : F = 𝑹 может служить длина l(f) кривой, являющейся графиком функции f : [0;1] → 𝑹.
-----------------
СЛОН
сТон
стоК
сРок
Урок
урЮк
Крюк
кАюк
каюР
каФр
кафЕ
каРе
карА
Тара
тУра
Мура
МУХА
-----------------
Пусть M - множество всех числовых функций 
, определенных на всей числовой прямой 𝑹. Фиксируем число c и каждой функции f ∈ m поставим в соответствие функцию fc ∈ M, определяемую следующим соотношением: fc(x) = f(x+c). Функцию fc называют сдвигом функции f на величину c. Построенное соответствие f → fc порождает функцию A : M → M, называемую оператором сдвига. Оператор, таким образом, это функция, преобразующая одни функции в другие, так A(f) = fc. Операторы мы встречаем на каждом шагу: любой радиоприемник есть оператор, преобразующий электромагнитный сигнал, поступающий на вход приемника, в звуковой сигнал на его выходе; любой из наших органов чувств является оператором (преобразователем) со своими областью определения и областью значений.
Числовые функции изучаются в разделах математического анализа, объединяемых названием «теория функций». Функционалы и операторы изучаются в другом (тесно связанном с первым) разделе современного математического анализа, называемом функциональным анализом.
В теории вероятностей и математической статистике появляются и изучаются еще так называемые случайные функции.
Например, если бросать игральную кость (кубик) и номеру бросания сопоставлять выпавшее при этом бросании число очков, то получится числовая последовательность с целыми значениями в пределах от 1 до 6. Если эту процедуру повторить заново, то получится, вообще говоря, другая последовательность. До проведения опыта мы не знаем точно значения f(n) нашей функции в n-м бросании, хотя все-таки знаем, что с вероятностью 1/6 это может быть, например, 1. Распределение значений и другие свойства так возникающих функций изучают науки вероятностного цикла.
В обращении с функциями наиболее развитым является математический аппарат анализа числовых функций, поэтому большинство реально возникающих функций стремятся задать в числовом виде.
Рассмотрим температуру t в пункте p земной поверхности P. Таким образом, возникает температурная функция T : P → 𝑹, аргументом которой является точка p поверхности P, а значением t = T(p) - температура в этой точке. Чтобы привести эту функцию к числовой записи, точку p характеризуют некоторыми числовыми параметрами, например широтой φ и долготой ψ. После этого вместо t = T(p) пишут t = T(φ,ψ), где теперь t, φ, ψ - числа. Но t оказывается, таким образом, зависящей не от одной, а от двух переменных - φ, ψ, поэтому такую числовую функцию называют функцией двух (числовых) переменных. В этом же смысле температура атмосферы в целом есть функция T(φ,ψ, H) трех числовых переменных: две первые (φ,ψ) указывают, над какой точкой земной поверхности проводится измерение температуры, а последняя - H - задает высоту, на которой оно выполняется.