от точки A, т.е. найдем такую точку B, что 
(рис. 3). Затем от точки B отложим вектор 
, т. е. найдем такую точку C, что 
. Вектор 
называется суммой векторов и и обозначается через 
. Можно доказать, что сумма не зависит от выбора точки A, т.е. если заменить A другой точкой A1, то получится вектор 
, равный (рис. 3). Из определения суммы векторов вытекает, что для любых трех точек A,B,C справедливо равенство
I2: 
(«правило трех точек»). Если ненулевые векторы и не параллельны, то их сумму удобно находить с помощью правила параллелограмма (рис. 4).
Рис. 3
Рис. 4
II. Основные свойства суммы векторов выражают следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов , , 
):
II1. 
.
II2. 
.
II3. 
.
II4. 
.
Заметим еще, что сумма нескольких векторов находится последовательным нахождением суммы двух из них. Например: 
.
При этом, в каком бы порядке мы ни складывали заданные векторы, результат (как это вытекает из свойств, названных в пунктах II1, и II2) всегда будет одним и тем же. Например:
.
Далее, геометрически сумма нескольких векторов 
может быть получена следующим образом: надо направленные отрезки, являющиеся представителями этих векторов, последовательно отложить друг за другом (т.е. так, чтобы начало второго направленного отрезка совпадало с концом первого, начало третьего – с концом второго и т.д.); тогда вектор 
будет иметь своим представителем «замыкающий» направленный отрезок, идущий от начала первого к концу последнего (рис. 5). (Заметим, что если при таком последовательном откладывании получается «замкнутая векторная ломаная», то 
.)
Рис. 5
III. Умножение вектора на число. Пусть - ненулевой вектор и k - отличное от нуля число. Через 
обозначается вектор, определяемый следующими двумя условиями: а) длина вектора равна 
; б) вектор параллелен вектору , причем его направление совпадает с направлением вектора при k>0 и противоположно ему при k<0 (рис. 6). Если справедливо хотя бы одно из равенств 
, k = 0, то произведение считается равным 
. Таким образом, произведение определено для любого вектора и любого числа k.
Рис. 6
Следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов , и любых чисел k, l) выражают основные свойства операции умножения вектора на число:
III1. 
.
III2. 
.
III3. 
.
III4. 
.
Из этих свойств вытекает ряд дальнейших фактов, связанных с рассмотренными операциями над векторами. Отметим некоторые из них, часто применяемые при решении задач.
а) Если M - такая точка отрезка AB, что |AM| : |BM| = k, то для любой точки O справедливо равенство 
, в частности если M - середина отрезка AB, то 
.
б) Если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то 
; кроме того, для любой точки O справедливо равенство 
(обратные теоремы также справедливы).
в) Пусть M - точка прямой l и - ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Точка A в том и только в том случае принадлежит прямой l, если 
(где k - некоторое число).
г) Пусть M - точка плоскости α и , - ненулевые и непараллельные между собой векторы, параллельные этой плоскости. Точка A в том и только в том случае принадлежит плоскости α, если вектор 
выражается через и , т.е. 
.
Наконец, отметим еще свойство размерности, выражающее тот факт, что пространство трехмерно.
IV. В пространстве существуют такие три вектора , , , что ни один из них не выражается через два других; любой четвертый вектор 
выражается через эти три вектора: 
.
Например, если , , - три ненулевых вектора, направленных вдоль ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, то эти векторы