Понятие «функция» претерпело длительную и довольно сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появился в 1692 г. у Г. В. Лейбница, правда, в некотором более узком смысле. В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Г. Лейбницу от 1698 г. швейцарский ученый И. Бернулли. В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н. И. Лобачевский.
Мы обсудили понятие функции. Остановимся в заключение на одном общем и важном принципе синтеза и анализа функций.
Хорошо известно, что сколько-нибудь сложная система, например современная технологическая линия, состоит из целого ряда технологических участков, на каждом из которых выполняется какая-то одна сравнительно простая операция. Исходным объектом обработки для следующего участка является продукция предшествующего участка. Такой принцип создания сложных систем из элементов, выполняющих сравнительно простые функции, вы можете увидеть и в радиоприемнике, и в административно-хозяйственном аппарате учреждения.
Отражением этого принципа в математике является операция композиции функций.
Если функции f : X → Y и g : Y → Z таковы, что одна из них (в нашем случае g) определена на множестве значений другой (f), то можно построить новую функцию g ∘ f : X → Z, значения которой на элементах множества X определяются формулой (g ∘ f)(x) = g(f(x)). Построенная «сложная» функция g ∘ f называется композицией функций f и g (в таком порядке!).
Композиция функций является, с одной стороны, богатым источником новых функций (синтез), а с другой стороны, способом расчленения сложных функций на более простые (анализ).
С композицией отображений можно столкнуться как в геометрии, рассматривая последовательно выполняемые движения плоскости или пространства, так и в алгебре при исследовании «сложных» функций, полученных композицией простейших элементарных функций. Так, функцию h(x) = sin (x2) можно рассматривать как композицию функций y = f(x) = x2 и g(y) = sin y.
Операцию композиции часто приходится проводить несколько раз подряд, и в связи с этим полезно отметить, что она ассоциативна, т.е. h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f. Это обстоятельство, как и в случае сложения или умножения нескольких чисел, позволяет опускать скобки, предписывающие порядок действий. Например, пусть y1 = f1(x) = x2 - 1, y2 = f2(y1) = √y1, y3 = f3(y2) = cos y2, y4 = f4(y3) = 2y3. Тогда 
.
Если в композиции fn ∘...∘ f1 все члены одинаковы и равны f, то часто ее обозначают коротко через fn.
Известно, что корень квадратный из положительного числа a можно вычислить последовательными приближениями по формуле
xn+1 = (xn + a/xn)/2,
начиная с любого начального приближения x0 > 0. Это не что иное, как последовательное вычисление fn(x0), где
f(x) = (x + a/x)/2.
Такая процедура, когда вычисленное на предыдущем шаге значение функции на следующем шаге становится ее же аргументом, называется итерационным процессом. Итерационные процессы очень широко применяются в вычислительной математике.
Отметим также, что даже в том случае, когда обе композиции g ∘ f и f ∘ g определены, вообще говоря, g ∘ f ≠ f ∘ g.