Возьмем, например, двухэлементное множество {a;b} и постоянные функции f : {a;b} → a, g : {a;b} → b. Тогда g ∘ f : {a;b} → b, в то время как f ∘ g : {a;b} → b.
Отображение I:X → X, сопоставляющее каждому элементу множества X его самого (т.е. I(x) = x), называется тождественным отображением множества X.
Отображения (функции) f : X → Y и g : Y → X называются взаимно-обратными, если g ∘ f = IX и f ∘ g = IY.
Иными словами, если элемент x ∈ X под действием f перешел в элемент y = f(x) ∈ Y, то под действием обратного отображения g этот элемент y=f(x) будет возвращен именно в x ∈ X, так же как элемент x = g(y) под действием f будет отправлен в элемент y, из которого он получился при отображении g.
Обратное к f отображение g обычно обозначают символом f-1. Таким образом, если f и g взаимно-обратные отображения, то можно записать, что g = f-1 и f = g-1.
Примерами пар функций, взаимно-обратных на соответствующих числовых множествах X ⊂ R и Y ⊂ R, могут служить следующие пары элементарных функций:
y = xn при x ≥ 0 и 
при y ≥ 0;
y = 10x при x ∈ R и x = lg y при y > 0;
y = sin x при x ∈ [-π/2, π/2] и
x = arcsin y при y ∈ [-1,1].
О наиболее часто встречающихся функциях вы прочитаете в статьях Элементарные функции, Линейная функция, Квадратный трехчлен, Степенная функция, Дробно-линейная функция, Показательная функция, Логарифмическая функция, Тригонометрические функции, Гиперболические функции.
Д-Ф: ЗАДАЧИ
Задача 6. Шифр устроен следующим образом: каждой цифре сопоставлено по три буквы (см. табл.), а знаку * две буквы и пробел.
Таблица.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 *
а г ж й м п т х ш ы ю
б д з к н р у ц щ ь я
в е и л о с ф ч ъ э
Попробуйте расшифровать следующую запись:
5343934*150413*6*414724144414*8156215044414*305041080.
Задача 7. Две девочки играют в такую игру: они по очереди отрывают лепестки у ромашки. За один ход можно оторвать либо один лепесток, либо два соседних (с самого края). Выигрывает девочка, сорвавшая последний лепесток. Докажите, что вторая девочка всегда может выиграть (у ромашки больше двух лепестков).
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Цепная линия - одна из тех плоских кривых, которые мы повседневно наблюдаем, возможно не задумываясь об их форме. Свое название цепная линия получила из-за того, что любая цепочка или любая гибкая тяжелая нерастяжимая струна, закрепленная на концах, является частью цепной линии, как, например, провод электропередачи.
Для записи уравнения цепной линии в качестве оси ординат выбирают ее ось симметрии. Тогда при соответствующем выборе оси абсцисс (рис. 1) уравнение цепной линии примет вид
y = a(ex/a + e-x/a)/2.
Рис. 1
Эта функция выражается через одну из элементарных функций, а именно y = a ch(x/a).
Второе замечательное свойство цепной линии обнаружил в 1744 г. Л. Эйлер. Он искал такую кривую, проходящую через две заданные точки, чтобы поверхность вращения ее вокруг заданной прямой имела бы наименьшую площадь по сравнению с площадями поверхностей, полученных вращением других кривых, проходящих через эти точки. Оказалось, что такой кривой является цепная линия; соответствующая поверхность была названа катеноидом (цепеобразной). Именно такую форму принимает мыльная пленка, если ее натянуть на два кольца, расположенных на одной оси (рис. 2).
Рис. 2
ЦИКЛОИДА
Циклоида (от греческого слова kykloeides - «кругообразный») - плоская кривая. Первые исследования циклоиды проводил в XVI в. итальянский физик и астроном Г. Галилей. Позднее этой же замечательной кривой занимались другие блестящие умы: французский физик и математик Б. Паскаль, нидерландский механик, физик и математик XVII в. X. Гюйгенс, французский философ и математик Р. Декарт.
Циклоида - кривая, которую описывает точка P окружности, катящейся без скольжения по некоторой прямой в той же плоскости (рис. 1). Эту окружность называют порождающей. Описывающая циклоиду точка совершает сложное движение: с одной стороны, она, как и все другие точки катящейся окружности, имеет составляющую скорости в направлении качения окружности, с другой - составляющую по касательной к окружности, поскольку, как и все другие точки окружности, равномерно вращается вокруг ее центра. Величины обеих скоростей равны, поэтому результирующий вектор скорости