.
Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. Множества натуральных чисел и дробей было достаточно, чтобы выразить результат любого измерения. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения двух таких чисел, т.е. дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «...элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом». Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата не соизмерима с его стороной. Отсюда следовало, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основания утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Открытие несоизмеримых величин наложило глубокий отпечаток на развитие древнегреческой математики. Так как в то время не знали чисел, отличных от натуральных и дробей, возникли две науки, которые развивались параллельно, но имели различные объекты изучения: арифметика - наука о числах и геометрия, в которой, в частности, рассматривалось учение о величинах - длинах, площадях, объемах.
Древнегреческие ученые умели складывать и вычитать величины, находить их кратные и доли, а над их отношениями умели выполнять операции умножения, деления, возведения в степень. Однако, поскольку не существовало общей идеи числа, все эти операции невозможно было объединить в единую систему, в арифметику действительных чисел. Это тормозило развитие древнегреческой науки, сковывало, как панцирь, живое тело античной математики. Гораздо свободнее, но менее строго обращались с числами ученые, занимавшиеся практическими задачами: астрономы, землеустроители, географы и т.д. В их работах, относящихся ко II в. до н.э. - III в., постепенно стирается грань между числами и величинами. Этот процесс завершили математики средневекового Востока (Омар Хайям, XI-XII вв.).
С развитием алгебры, уже при решении линейных уравнений с одним неизвестным, возникает необходимость в отрицательных числах. Еще до нашей эры их стали употреблять китайские математики. Широко использовали отрицательные числа и индийские математики (Брахмагупта, VII в.). Замечательным достижением индийских математиков было введение понятия нуля и знака для него, что позволило им создать десятичную систему записи натуральных чисел и разработать правила операций над записанными так числами. Эту запись чисел стали применять математики многих восточных стран, откуда она попала в Европу.
В XV в. самаркандский ученый ал-Каши ввел десятичные дроби. Это нововведение оставалось неизвестным европейским математикам, и лишь в 1584 г. нидерландский математик и инженер С. Стевин вновь пришел к этому открытию. Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел.
Следующими важными этапами в развитии понятия числа были открытие комплексных чисел и формальное построение теории действительных чисел на основе понятия натурального числа.
Изучение понятия числа шло не только путем обобщения, но и путем выделения из общего понятия числа важных частных случаев. Например, в множестве R действительных чисел были выделены рациональные и иррациональные числа, т.е. числа, которые соответственно можно записать в виде дроби p/q и которые нельзя записать в таком виде. По своей десятичной записи эти виды чисел различаются тем, что в записи рационального числа, начиная с некоторого места, неизменно повторяется одна и та же цифра или группа цифр, тогда как в записи иррационального числа такого повторения наступить не может. Так, 0,333...(=1/34), 5,0323232...(=2491/495) - рациональные числа; 1,4142...(=√2), 3,14159...(=π) - иррациональные числа.
Далее были выделены алгебраические числа, т.е. числа, являющиеся корнями уравнений вида
a0xn+a1xn-1+...+an,
где a0,a1,an - целые числа (если, кроме того, a0 = 1, то корень уравнения называют целым алгебраическим числом). Примерами алгебраических чисел могут служить 1 + √2 (корень уравнения x2-2x-1=0), 
(корень уравнения x3-11=0). Каждое рациональное число p/q является алгебраическим, поскольку оно является корнем уравнения qx - p = 0.