, 
, 
обладают свойством IV (рис. 7).
Рис. 7
V. Скалярное произведение 
векторов и определяется равенством:
Следующие 4 соотношения (справедливые для любых векторов , , и любого числа ) выражают основные свойства операции скалярного умножения векторов:
V1. 
,
V2. 
.
V3. 
V4. Если 
, то 
(здесь через 
обозначено скалярное произведение вектора на себя).
Заметим в связи со свойством V4, что число равно квадрату длины вектора , т. е. 
.
Со скалярным произведением связано понятие ортогональности: два вектора и называются ортогональными, если 
. Иначе говоря, если векторы и ортогональны, то либо они оба ненулевые и образуют прямой угол, либо хотя бы один из этих векторов равен 
(и тогда угол между ними не определяется).
Перечисленные выше свойства векторных операций во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел. В то же время вектор – геометрический объект, и в определении векторных операций используются такие геометрические понятия, как длина и угол; этим и объясняется польза векторов для геометрии (и ее приложений к физике и другим областям знания). Однако для решения геометрических задач с помощью векторов необходимо прежде всего научиться «переводить» условие геометрической задачи на векторный «язык». После такого «перевода» осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное векторное решение снова «переводится» на геометрический «язык». В этом и состоит векторное решение геометрических задач.
При изложении курса геометрии в школе вектор дается как определяемое понятие (см. Определение), и потому принятая в школьном учебнике аксиоматика (см. Аксиоматика и аксиоматический метод) геометрии ничего не говорит о свойствах векторов, т.е. все эти свойства должны доказываться как теоремы.
Существует, однако, и другой путь изложения геометрии, при котором первоначальными (неопределяемыми) понятиями считаются вектор и точка, а отмеченные выше свойства I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 принимаются за аксиомы. Такой путь построения геометрии был предложен в 1917 г. немецким математиком Г. Вейлем. Здесь прямые и плоскости являются определяемыми понятиями. Преимущество такого построения в его краткости и в органической связи с современным пониманием геометрии как в самой математике, так и в других областях знания. В частности, аксиомы II1-II4, III1-III4 вводят так называемое векторное пространство, используемое в современной математике, в физике, математической экономике и т.д.
ВЕРОЯТНОСТЬ
Вероятность – числовая характеристика возможности появления случайного события в определенных условиях, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз.
В XVIII в. сложилось понятие классической вероятности. Согласно ему вероятность события A есть отношение числа равновозможных случаев, благоприятствующих наступлению события A, к числу всех возможных.
Классическая вероятность имеет ограниченную область применений, поскольку далеко не всегда в реальных вопросах можно выделить равновозможные случаи в конечном числе. Приведем пример. Наблюдая за космическими частицами, мы заинтересовались, какова вероятность выпадения на данную площадку земной поверхности за период в 5 мин не более трех космических частиц? Как в данном примере определить равновозможные случаи? Здесь используют статистическое определение вероятности. Статистическое определение имеет дело с проведением эксперимента, или, как принято говорить в теории вероятностей, с проведением испытаний. Пусть нас интересует оценка вероятности того, что под определенной нагрузкой диод способен проработать свыше 10 тыс. часов. С этой целью на стенд испытаний поставлена 1 тыс. диодов, изготовленных в одних и тех же условиях и из одной и той же партии исходных материалов. После 10 тыс. часов работы вышли из строя 100 штук, остальные 900 продолжали сохранять работоспособность. Частота появления диодов, способных проработать более 10 тыс. часов, оказывается равной 900 : 1000 = 9/10. При большом числе испытаний можно считать, что вероятность события будет близка к частоте. В нашем примере вероятность того, что наудачу взятый диод проработает более 10 тыс. часов, будет близка к 9/10. Статистическое понятие вероятности постоянно используется на практике: в биологии, медицине, инженерном деле, экономике и пр.