Для функции, заданной аналитически (формулой), построение ее графика может потребовать большого труда. Исследование характера изменения функции, нахождение промежутков возрастания и убывания, экстремумов функции можно осуществить с помощью ее производной.
Пусть функция y = f(x) в каждой точке некоторого интервала имеет производную. Для того чтобы функция возрастала на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная f'(x) была положительна на этом интервале, за исключением лишь отдельных точек, где эта производная может обращаться в нуль. Для того чтобы функция убывала на интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была отрицательна на этом интервале, опять же за исключением лишь отдельных точек, где производная может равняться нулю.
Геометрически этот факт почти очевиден. Производная, как известно, равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ox. Если функция возрастает, то при движении слева направо ее график поднимается, а график убывающей функции опускается (рис. 2 и 3). Ясно, что в первом случае касательная к графику образует с осью Ox острый угол, а во втором случае - тупой. Лишь в отдельных точках касательная может оказаться горизонтальной, т.е. производная в соответствующих точках обратится в нуль.
Рис. 2
Рис. 3
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ФИГУРЫ
Многоугольник называется вписанным в выпуклую кривую, а кривая – описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на кривой (рис. 1). Многоугольник называется описанным вокруг выпуклой кривой, а кривая – вписанной в многоугольник, если каждая его сторона касается кривой. Если же кривая касается всех прямых, на которых лежат стороны многоугольника, причем некоторых из них она касается в точках, не принадлежащих сторонам, то она называется вневписанной. В качестве кривой чаще всего рассматривается окружность. Так, например, всякий треугольник имеет одну описанную окружность, одну вписанную и три вневписанных (рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
Но уже не всякий четырехугольник имеет вписанную или описанную окружность. Описанная вокруг четырехугольника окружность существует лишь в том случае, если сумма его противоположных углов равна 180°. А для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы каждая сумма длин одной пары противоположных сторон была равна сумме длин второй пары сторон.
Вписанная и описанная окружности существуют у любого правильного многоугольника (рис. 3). Этот факт использовался еще в древности для нахождения отношения длины окружности к ее радиусу.
Рис. 3
Нетрудно обнаружить тот факт, что если на плоскости задана замкнутая кривая G и равносторонний треугольник, то вокруг G всегда можно описать равносторонний треугольник со сторонами, параллельными сторонам данного (рис. 4). Менее очевидным является утверждение о том, что вокруг любой замкнутой кривой можно описать квадрат.
Рис. 4
Вписанные и описанные фигуры рассматриваются и в пространстве.
В этом случае вместо многоугольника рассматривается многогранник, а вместо выпуклой линии – выпуклая поверхность, чаще всего сфера.
Сфера называется описанной около многогранника, а многогранник – вписанным в сферу, если все вершины многогранника лежат на сфере. Сфера называется вписанной в многогранник, а многогранник описанным около сферы, если плоскости всех его граней касаются сферы.
У правильных многогранников существуют описанные и вписанные сферы, поскольку вершины правильного многогранника равноудалены от его центра (рис. 5). Для того чтобы у других многогранников существовали описанная и вписанная сферы, требуются определенные условия. Например, около прямой призмы или пирамиды можно описать сферу, если можно описать окружность около ее основания (рис. 6).