Каждый член геометрической прогрессии с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому последующего, и предыдущего членов: 
. Этот факт отражается в названии рассматриваемой последовательности: геометрическая прогрессия. Верно и более общее свойство: 
при n > k.
Справедливы следующие формулы (через Sn обозначена сумма первых n членов геометрической прогрессии):
bn = b1qn-1, (1)
при q ≠ 1. (2)
При q = 1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической прогрессией, при этом Sn = nb1.
При |q|<1 существует предел суммы первых n членов геометрической прогрессии при n → ∞, называемый суммой бесконечно убывающей прогрессии. Из формулы (2) нетрудно усмотреть, что этот предел равен S = b1/ (1 -q). (3)
В своих сочинениях древнегреческий ученый Архимед неоднократно возвращался к вопросу о вычислении сумм прогрессий. Например, в трактате «О квадратуре параболы» он рассматривает задачу, эквивалентную задаче о нахождении суммы бесконечно убывающей прогрессии a,b,c,d,e,..., знаменатель которой равен 1/4. Архимед решает эту задачу так: из определения прогрессии имеем a = 4b, b = 4c, c = 4d, ..., поэтому
b + c + d + e + ...1/3(b + c + d + e + ...) =
4/3(b + c + d + e + ...) = 1/3(4b + 4c + 4d + 4e + ...) =
1/3(a + b + c + d + ...)
откуда b + c + d + e + ... = 1/3 a и a + b + c + d + e + ...= 4/3 a.
Если q > 1, то члены геометрической прогрессии быстро растут. В результате при сравнительно небольших номерах n получаются числа-гиганты. С древнейших времен известны задачи и легенды, связанные с неправдоподобной на первый взгляд скоростью роста членов геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16 …. Одна из наиболее известных легенд – легенда об изобретателе шахмат.
Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую два, за третью еще в два раза больше, т. е. четыре, за четвертую – еще в два раза больше и т.д. Эта задача привлекла внимание Л. Н. Толстого. Приведем часть его расчета (шахматная доска здесь названа шашечницей): «Клеток в шашечнице 8 с одной стороны и 8 с другой; 8 рядов по 8 = 64
на 1-ю 1, на 33-ю 4 294 967 296
на 2-ю 2, на 34-ю 8 589 934 592
на 3-ю 4, на 35-ю 17 179 869 184
на 4-ю 8, на 36-ю 34 359 738 368
………………………………………………
на 62-ю 2 305 843 009 213 693 952
на 63-ю 4 611 686 018 427 387 904
на 64-ю 9 223 372 036 854 775 808
Если 40 000 зерен в одном пуде, то на одной последней клетке вышло 230 584 300 921 369 пудов». Общее число зерен составит число 18 446 744 073 709 551 615.
Формулы (1), (2), (3) остаются справедливыми и для геометрических прогрессий с комплексными числами. Например, с помощью формулы (3) для прогрессии, у которой
q = b1 = cos φ + i sin φ,
и формулы Муавра
(cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ
легко получить формулы
,
.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ
Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее и наименьшее значение, принято называть задачами «на экстремум» (от латинского слова extremum - «крайний») или задачами «на максимум и минимум» (от латинских maximum и minimum – соответственно «наибольшее» и «наименьшее»). Такие задачи часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной деятельности людей.
Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов? Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объем был наибольший? В каком месте следует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?
Эти задачи (им легко можно придать геометрический вид) имеют большое практическое значение. С их помощью можно решить важный во всяком деле вопрос, как, по словам русского математика П. Л. Чебышева, «располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды». Уметь решать подобные задачи очень важно, и поэтому они привлекают большое внимание математиков.
Самая простая и, вероятно, самая древняя геометрическая задача на экстремум такая: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение ее было известно древнегреческой математике. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида (см. Евклид и его «Начала»), где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Доказательство очень простое, оно основано на сравнении площадей (рис. 1). Площадь прямоугольника равна S0 + S1, а площадь квадрата S0 + S2 и S1 < S2, если x < a. Таким образом, мы получаем, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. В решении Евклида, во-первых, указан ответ (квадрат) и, во-вторых, доказано, что по площади он превосходит все другие возможные фигуры (прямоугольники данного периметра). Именно так понимается в математике решение задачи на экстремум: дать ответ и доказать его экстремальное свойство.