Задача 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC построены вне его квадраты ABMQ и BCPN. Доказать, что отрезок MN перпендикулярен медиане BD треугольника ABC и вдвое длиннее этой медианы.
Решение. Попытаемся применить поворот на 90°, т. е. убедиться, что при повороте на 90° вокруг точки B (по часовой стрелке) отрезок MN перейдет в отрезок, параллельный BD и имеющий вдвое большую длину. При этом повороте вектор 
переходит в 
(рис. 4), а вектор 
в 
. Следовательно, вектор 
переходит в 
, т. е. в 
. Но так как 
, то 
. Итак, при повороте на 90° вектор 
переходит в , т.е. в вектор, равный 
. Отсюда вытекает, что 
и |MN| = 2|BD|.
Рис. 4
Весьма существенна связь движений с ориентацией. На рис. 5 изображен многоугольник F, на контуре которого задано положительное направление обхода (против часовой стрелки). При параллельном переносе получается многоугольник с тем же направлением обхода, т.е. параллельный перенос сохраняет направление обхода, или, как говорят, сохраняет ориентацию. Поворот (в частности, центральная симметрия, представляющая собой поворот на 180°) также сохраняет ориентацию (рис. 6). Напротив, осевая симметрия меняет направление обхода на противоположное (рис. 7), т.е. меняет ориентацию. Другой пример движения, меняющего ориентацию – скользящая симметрия, т.е. композиция симметрии относительно некоторой прямой l и параллельного переноса, вектор которого параллелен l (рис. 8).
Рис. 5
Рис.6
Рис. 7
Рис. 8
Французский механик и геометр XIX в. М. Шаль сформулировал следующую теорему: всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом; всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой, либо скользящей симметрией.
Задача 4. Доказать, что композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями представляет собой поворот.
Решение. Пусть s1 и s2 - осевые симметрии, оси которых (прямые l1 и l2) пересекаются в точке O. Так как оба движения s1,s2 меняют ориентацию, то их композиция s2 ∘ s1 (сначала выполняется s1, затем s2) является движением, сохраняющим ориентацию. По теореме Шаля, s2 ∘ s1 есть либо параллельный перенос, либо поворот. Но так как при каждом движении s1,s2 точка O неподвижна, то и при их композиции точка O остается на месте. Следовательно, s2 ∘ s1 есть поворот вокруг точки O. Как найти угол поворота, понятно из рис. 9: если φ - угол между прямыми l1 и l2, то (поскольку точка A ∈ l1 переводится движением s1 в себя, а движением s2 - в симметричную относительно l2 точку B) движение s2 ∘ s1, переводящее A в B, представляет собой поворот (вокруг точки O) на угол 2φ.
Рис. 9
Следующую по важности группу геометрических преобразований плоскости составляют преобразования подобия. Наиболее простое из них – гомотетия. Напомним, что гомотетией с центром O и коэффициентом k ≠ 0 называется геометрическое преобразование, которое произвольно взятую точку A переводит в такую точку A', что 
(рис. 10). Гомотетия переводит каждую прямую в параллельную ей прямую, каждую окружность снова переводит в окружность. Гомотетия сохраняет углы, а все длины увеличивает в |k| раз: если при гомотетии точки A,B переходят в A'B', то |A'B'| = |k|·|AB|. Из этого вытекает, что гомотетия сохраняет форму (но не размеры) фигур; если, например, k > 1, то фигура F', в которую переходит фигура F при гомотетии с центром O и коэффициентом k, представляет собой увеличенную копию фигуры F (рис. 10), а если 0 < k < 1 - уменьшенную копию.
Рис. 10
Поскольку при гомотетии все длины изменяются в одинаковое число раз, отношение длин не меняется. На этом основаны различные способы оценки расстояний; например, зная длину руки и длину большого пальца и прикинув, сколько раз большой палец вытянутой руки укладывается в видимом образе предмета, можно найти отношение высоты вертикального предмета к расстоянию до него (на рис. 11 имеем |AB| : |BO| = |A'B'| : |B'O|, откуда, измерив |BO|, можно найти |AB|, а потому и высоту трубы, которая примерно втрое больше |AB|).