Рис. 11
Задача 5. Построить квадрат, вписанный в данный сектор (две вершины квадрата лежат на одном радиусе, третья – на другом, четвертая – на дуге сектора).
Решение. Пусть ABCD и A1B1C1D1 (рис. 12) – два квадрата, вписанные в угол MON. При гомотетии с центром O, переводящей точку B в B1, (коэффициент этой гомотетии равен k = |OB1|/|OB|), отрезок AB переходит в отрезок A1B1, а потому квадрат ABCD переходит в квадрат A1B1C1D1 (поскольку углы, а также отношение отрезков сохраняются). Из этого вытекает, что вершины C и C1, лежат на одном луче, исходящем из точки O. Теперь ясно, что, построив какой-нибудь квадрат ABCD, вписанный в угол MON, и проведя луч OC, мы сможем найти вершину C' искомого квадрата (т.е. точку пересечения луча OC с дугой MN сектора), а затем достроить искомый квадрат (рис. 13).
Рис. 12
Рис. 13
Преобразование f плоскости α называется подобием с коэффициентом k>0, если для любых точек A,B плоскости α расстояние между точками f(A) и f(B) равно k·|AB|. Любое подобие (как и гомотетия – частный случай подобия) сохраняет углы, а также отношение длин, т.е. сохраняет форму фигур. Однако, в отличие от гомотетии, подобие может переводить прямую l в прямую l', не параллельную ей.
На рис. 14 изображены два плана P и P1, одного и того же участка местности, выполненные в разных масштабах и по-разному лежащие на плоскости. Эти планы представляют собой подобные, но не гомотетичные фигуры; например, прямая AB и соответствующая ей прямая A1B1 не параллельны. Чтобы получить план P1, исходя из плана P, можно поступить так: сначала повернуть план P, чтобы его стороны стали параллельными сторонам плана P1, а затем применить гомотетию. Иначе говоря, план P1, подобный P, получается из P при помощи композиции движения (поворота) и гомотетии.
Рис. 14
Указанное обстоятельство является общим, т.е. всякое подобие g представляется в виде композиции h ∘ f, где f - движение, а h - гомотетия. Из этого ясно, что при решении задач методом подобия можно ограничиваться лишь рассмотрением гомотетии (сопровождаемой некоторым движением). Это имеет определенные удобства: вспомните, с каким напряженным вниманием отыскиваются соответственные стороны по-разному расположенных подобных треугольников при выписывании равенства отношений сторон (и с какой легкостью выписываются эти отношения для гомотетичных треугольников).
Задача 6. Стороны треугольника ABC связаны соотношением a2 = c(b+c). Доказать, что угол A вдвое больше угла C.
Решение. Пусть D - такая точка прямой AB, что |AD| = b, причем A лежит между B и D (рис. 15). Тогда треугольник ACD - равнобедренный, и потому ∠1 = ∠2; кроме того, |BD| = b + c. При симметрии относительно биссектрисы угла B точки A и C перейдут в такие точки A' и C', что |BA'| = |BA| = c, |BC'| = |BC| = a; кроме того ∠3 = ∠4. Равенство a2 = c(b+c) можно переписать в виде
(b + c)/a = a/c, т.е. |BD|/|BC| = |BC'|/|BA'|,
откуда следует, что при гомотетии с центром B и коэффициентом k = |BD|/|BC'| точки D,C переходят в C',A'. Следовательно DC||C'A' и потому ∠2 = ∠4, т.е. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4. Так как BAC - внешний угол треугольника ACD, то он равен сумме углов ∠1 и ∠2 , т.е. равен удвоенному углу C.
Рис. 15
В заключение рассказа о преобразованиях подобия заметим, что они составляют группу преобразований и потому (см. Геометрия) согласно Эрлангенской программе определяют «свою» геометрию. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами, которые сохраняются при всех преобразованиях подобия и изучаются в геометрии подобий) являются угол, отношение длин двух отрезков, параллельность двух прямых и т.д. Хотя длина отрезка уже не сохраняется, но в силу сохранения отношения длин в геометрии подобий можно говорить о равнобедренном треугольнике (т.е. о треугольнике, в котором отношение длин боковых сторон равно 1). Теорема о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, сохраняется и в геометрии подобий. Сохраняется также теорема Пифагора (в форме (a/c)2 + (b/c)2 = 1, где a/c и b/c - отношения длин катетов к длине гипотенузы) и т.п.